Equação trigonométrica

Sejam a, b ∈ ℝ  e 2 cos(a-b) = cos(a) + 2sen(b), com [latex] a-b \neq \pi /2 + k\pi [/latex] Então, o valor de cotg(a/2).cotg(b/2) é:

(A) 1
(B) √2
(C) 3
(D) √3
(E) 1


GABARITO D

2.cos(a-b) = cos(a) + 2.sen(b)   =   2.cos(a).cos(b) + 2.sen(a).sen(b)


2.cos(a).cos(b) + 2.sen(a).sen(b) = cos(a) + 2.sen(b)

2.cos(a).cos(b) = cos(a)
cos(b) = 1/2

b =  π/3 + 2kπ   ou   5π/3 + 2kπ
b= 60°


2.sen(a).sen(b) = 2.sen(b)
sen(a)=1
a = π/2 + 2kπ
a = 90°


a-b ≠ π/2 + kπ
restrição é válida

cotg(90°/2) . cotg(60°/2) =
cotg(45°) . cotg(30°) =
1/tg(45°) . 1/tg(30°) =
1/1 . 1/(√3/3)=
√3

Rjaque, muito obrigado!

Apenas uma dúvida, esse tipo de resolução eu costumo utilizar bastante em números complexos (igualar os reais a outros reais, por exemplo). Entretanto, em equações trigonométricas é a primeira vez.

2.cos(a).cos(b) + 2.sen(a).sen(b) = cos(a) + 2.sen(b)

Não poderia haver valores que satisfaçam a igualdade: 2.cos(a).cos(b)= 2.sen(b) ?

Jvictors021 escreveu:Rjaque, muito obrigado!

Apenas uma dúvida, esse tipo de resolução eu costumo utilizar bastante em números complexos (igualar os reais a outros reais, por exemplo). Entretanto, em equações trigonométricas é a primeira vez.

2.cos(a).cos(b) + 2.sen(a).sen(b) = cos(a) + 2.sen(b)

Não poderia haver valores que satisfaçam a igualdade: 2.cos(a).cos(b)= 2.sen(b) ?

Essa nova igualdade foge da questão. O que fiz foi uma intuição que acabou dando certo. "Igualar" somas na maioria das vezes não funciona e não deve ser feito. Em (X + 1 = 2 + Y), a solução X = 2 e Y= 1 é apenas uma de infinitas outras.


2.cos(a).cos(b) + 2.sen(a).sen(b) = cos(a) + 2.sen(b)
A parte em negrito é um desses casos avulsos, mesmo assim precisou tirar a prova real e consultar a restrição a-b ≠ π/2 + kπ para confirmar a resposta, embora essa restrição apenas indique que a-b não é um ângulo reto.

Não vejo meios de simplificar essa equação do enunciado, talvez seja um labirinto de substituições. Muitas vezes, equações trigonométricas exigem gráficos ou contagem para demonstrar soluções. A questão não informa nenhum valor útil para a ou b.
Deixo aqui a restrição desenvolvida caso queira tentar algo:
cos(π/2 + kπ) para quaisquer valores de k resulta em 0, o que significa que cos(a-b)≠0.
cos(a-b) ≠ cos(π/2 + kπ)
cos(a-b) ≠ 0
2.cos(a-b) = cos(a) + 2.sen(b)
cos(a) ≠ -2.sen(b)
cos(a)/sen(b) ≠ -2