Equação trigonométrica

por mahriana Ter 05 Fev 2013, 13:50

Resolva a equação em ℝ:

$cos\, ax+cos\,bx=0 \,\,\,\, \left (a, b \in \mathbb{R}^* \right )$

por **ramonss** Ter 05 Fev 2013, 13:54

E o gabarito?

$\\cos(ax)=-cos(bx)\Rightarrow cos(ax)=cos(\pi - bx)\\\\\Rightarrow ax = \pi - bx+2K\pi \Rightarrow \boxed{x = \frac{\pi(1+2K)}{a + b}}\\\\\\\Rightarrow ax = bx - \pi+2K\pi\Rightarrow \boxed{x=\frac{\pi(1-2K)}{b-a}}\quad ,\quad K \in \mathbb{Z}$

por **Elcioschin** Ter 05 Fev 2013, 14:01

Transformação em produto

cosax + cosbx = 0

2*cos[(ax + bx)/2]*cos[(ax - bx)/2] = 0

2*cos[(a + b)x/2]*cos[(a - b)*x/2] = 0

Uma das parcelas ou ambas devem ser nulas

1) cos[(a + b)*x/2] = 0 ----> (a + b)*x/2 = kpi ± pi/2 ----> x = (2k ± 1)*pi/(a + b)

2) cos[(a b)*x/2] = 0 ------> (a - b)*x/2 = kpi ± pi/2 -----> x = (2k ± 1)*pi/(a - b)

por **ramonss** Ter 05 Fev 2013, 14:17

Elcioschin, são duas formas diferentes de resolver a questão, mas a sua resposta, apesar de parecer diferente da minha, é a mesma, pois (2k + 1)*pi/(a - b) = (1 - 2K)*pi/(b - a)

obs: o sinal "±" não é desnecessário ou errado? Afinal, cosx = 0 quando x = pi/2 + kpi. Se k = -1, x = -pi/2.