Quadrilátero

por **Giovana Martins** Dom 06 Ago 2017, 01:12

Seja ABCD um quadrilátero inscritível. Sabe-se que AB=a, BC=b, CD=c e AD=d. Expresse cotg (B)+cossec (B) em função do semiperímetro p dos lados do quadrilátero.

por **Giovana Martins** Dom 06 Ago 2017, 22:09

por nishio Seg 07 Ago 2017, 14:45

Vamos lá:
Dados iniciais:
$\alpha+\beta=180º\\ sen\alpha =sen\beta\\ cos\alpha =-cos\beta$
Fórmula de Heron para Quadriláteros Inscritíveis: $S_{ABCD}=\sqrt{(p-a).(p-b)(p-c)(p-d)}$

Podemos verificar a seguinte relação:
$S_{ABCD}=\frac{a.b.sen\alpha }{2}+\frac{c.d.sen\beta }{2}\\ 2S_{ABCD}={a.b.sen\alpha }+{c.d.sen\beta}\\ \frac{2S_{ABCD}}{ab+cd}=sen\alpha$

Observando os triângulos ABC e ADC, aplicamos a lei dos cossenos:
$(AC)^2=a^2+b^2-2ab.cos\alpha \\ (AC)^2=c^2+d^2-2cd.(-cos\alpha)\\ Igualando, temos:\\ a^2+b^2-2ab.cos\alpha=c^2+d^2-2cd.(-cos\alpha)\\ a^2+b^2-c^2-d^2=2ab.cos\alpha+2cd.(cos\alpha)\\ cos\alpha=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}$

Expressão procurada: $cotg\alpha +cossec\alpha =\frac{cos\alpha}{sen\alpha}+\frac{1}{sen\alpha }=\frac{cos\alpha +1}{sen\alpha }$

Substituindo, temos:
$\frac{\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}+1}{\frac{2.S_{ABCD}}{(ab+cd)}}\\ \frac{\frac{a^2+b^2-c^2-d^2+2ab+2cd}{2(ab+cd)}}{\frac{2.S_{ABCD}}{(ab+cd)}}\\ \frac{a^2+b^2-c^2-d^2+2ab+2cd}{4.S_{ABCD}}\\ \frac{a^2+2ab+b^2-(c^2-2cd+d^2)}{4.S_{ABCD}}\\ \frac{(a+b)^2-(c+d)^2}{4.S_{ABCD}}$
$\frac{(a+b)^2-(c+d)^2}{4.S_{ABCD}}\\ \frac{(a+b+c-d).(a+b-c+d)}{4.S_{ABCD}}\\ \frac{(a+b+c-2d+d).(a+b-2c+c+d)}{4.S_{ABCD}}\\ \frac{(2p-2d).(2p-2c)}{4.S_{ABCD}}\\ \frac{2(p-d).2(p-c)}{4.S_{ABCD}}\\ \frac{(p-d).(p-c)}{\sqrt{(p-a).(p-b)(p-c)(p-d)}}\\$
$\frac{(p-d).(p-c)}{\sqrt{(p-a).(p-b)(p-c)(p-d)}}\\ \frac{(p-d).(p-c).\sqrt{(p-a).(p-b)(p-c)(p-d)}}{\sqrt{(p-a).(p-b)(p-c)(p-d)}.\sqrt{(p-a).(p-b)(p-c)(p-d)}}\\ \frac{(p-d).(p-c).\sqrt{(p-a).(p-b)(p-c)(p-d)}}{(p-a).(p-b)(p-c)(p-d)}\\ \frac{\sqrt{(p-a).(p-b)(p-c)(p-d)}}{(p-a).(p-b)}\\ \frac{\sqrt{(p-a).(p-b)(p-c)(p-d)}}{\sqrt{(p-a)^2.(p-b)^2}}\\$
$\frac{\sqrt{(p-a).(p-b)(p-c)(p-d)}}{\sqrt{(p-a)^2.(p-b)^2}}\\ \sqrt{\frac{(p-a).(p-b)(p-c)(p-d)}{(p-a)^2.(p-b)^2}}\\ \sqrt{\frac{(p-c)(p-d)}{(p-a).(p-b)}}$

Qualquer dúvida, estou à disposição!

por MalcolnMed Seg 07 Ago 2017, 15:22

Que resolução..

por **Giovana Martins** Seg 07 Ago 2017, 21:46

Muito obrigada, nishio. Acho que esta questão poderia ir para o acervo das questões fora de série resolvidas aqui do fórum.

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