Sequência

por miri Sex 21 Jul 2017, 18:22

Dada a sequência(1/2, 2/3, 3/4, 4/5...) e considerando que segue o mesmo padrão, a soma do numerador e do denominador do menor termo cuja diferença do seu sucessor com ele é menor que 1/600 é igual a:
c->49

por **Elcioschin** Sex 21 Jul 2017, 19:02

Termo geral = x/(x + 1) ----> sucessor = (x + 1)/(x + 2)

(x + 1)/(x + 2) - x/(x + 1) < 1/600

[(x + 1)² - x.(x + 2)]/(x + 1).(x + 2) < 1/1600

1/(x² + 3.x + 2) < 1/1600

x² + 3.x + 2 > 1600

Agora é contigo: calcule os intervalos que satisfazem e determine x

Menor termo = x/(x + 1) ---> S = x + (x +1) ---> Calcule S

por Stelly.tf Ter 25 Jun 2024, 12:59

Vamos construir um raciocínio:
.
1º Entendendo a sequência [latex]\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}[/latex] ...

O termo se constitui de um Numerador X dividido por X+1

[latex]\frac{x}{x+1}[/latex]

O termo sucessor será X+1 divido por X+2

[latex]\frac{x+1}{x+2}[/latex]

Igual a sequência apresentada

[latex]\frac{x}{x+1}[/latex], [latex]\frac{x+1}{x+2}[/latex] = [latex]\frac{2}{3}, \frac{3}{4}[/latex]

2º a diferença entre o termo sucessor - antecessor
2/3 - 1/2 = 4-3 / 6 -> 1/6
3/4 - 2/3 = 9-8/12 -> 1/12
4/5 - 3/4 = 16-15/20 -> 1/20
*Observa-se que o resultado da diferença entre o termo sucessor menos o antecessor é sempre igual a 1 dividido pela multiplicação dos denominadores
[latex]\frac{1}{x.x} = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{4.3} = \frac{1}{12}[/latex]

3º Montando

[latex] \frac{x+1}{{\color{Red} x+2}} - \frac{x}{{\color{Red} x+1}} < \frac{1}{600}[/latex]
Como eu sei que o numerador sempre será 1, qual valor para X, que sejam números sequenciais e que multiplicando os denominadores necessita ser maior que 600, para que essa fração seja menor que 1/600
1/600 = 0,00166667 e 1/650 = 0,00153846
1/650<1/600
20.21= 420 -> 24.25 = 600 -> 25.26 = 650

Sucessor - antecessor: [latex]\frac{25}{26} - \frac{24}{25} < \frac{1}{600}[/latex]
O menor termo é 24/25, logo a soma de 24+25 = 49