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Super Cálculo

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Mensagem por gilberto97 Sab 03 Jun 2017, 22:34

Considero esta a questão mais desafiadora que já imaginei. 

Considere a curva Super Cálculo Gif

a) Represente-a no plano cartesiano.
b) Calcule a área da figura delimitada pela curva obtida e os eixos x e y, no intervalo Super Cálculo Gif do eixo x.

Quero deixar claro que na alternativa "a" jogar a equação num site que forneça o gráfico ou no geogebra não é solução!
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Mensagem por gilberto97 Dom 11 Jun 2017, 18:07

up!  :SW1:
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Mensagem por RioBrancoabcRetorna Sab 22 Jul 2017, 14:48

Desafios cuja resposta eu sei....
Onde está?

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Mensagem por Willian Honorio Ter 20 Fev 2018, 22:20

Gostaria de ver a resolução, tentei que só Sad . O gráfico nem é tão difícil assim, na integral, porém, só chego a igualdades.
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Mensagem por gilberto97 Ter 20 Fev 2018, 22:37

Boa noite, Willian. Foi bom você ter me lembrado hahaha

De fato, o gráfico é "tranquilo", vou deixar minha resolução para a integral.

Resolvendo a integral:


Integrando por partes, podemos ver que 

Super Cálculo 2%7D%5Cln%28%5Csin%20x%29%5C%2C%5Ctext%7Bd%7Dx

Seja Super Cálculo 2%7D%5Cln%28%5Csin%20x%29%5C%2C%5Ctext%7Bd%7Dx

Super Cálculo 2%7D%5Cln%28%5Ccos%20x%29%5C%2C%5Ctext%7Bd%7Dx

Somando as duas (que são a mesma coisa):

Super Cálculo 2%7D%5Cln%28%5Csin%20x

Super Cálculo 2%7D%5Cln%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Csin%202x%7D%7B2%7D%5Cright%29%5C%2C%5Ctext%7Bd%7Dx

Super Cálculo 2%7D%5Cln%5Cleft%28%5Csin%202x%5Cright%29%5C%2C%5Ctext%7Bd%7Dx-%5Cfrac%7B%5Cpi%5Cln%202%7D%7B2%7D

Note que 

Super Cálculo 2%7D%5Cln%5Cleft%28%5Csin%202x%5Cright%29%5C%2C%5Ctext%7Bd%7Dx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Cln%5Cleft%28%5Csin%20x%5Cright%29%5C%2C%5Ctext%7Bd%7Dx

Super Cálculo 2%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Cln%5Cleft%28%5Csin%20x%5Cright%29%5C%2C%5Ctext%7Bd%7Dx%5Cright%20%29

Super Cálculo 2%7D%5Cln%5Cleft%28%5Csin%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D+x%20%5Cright%20%29%5Cright%29%5C%2C%5Ctext%7Bd%7Dx%5Cright%20%29 (Simples substituição)

Super Cálculo 2%7D%5Cln%5Cleft%28%5Ccos%20%5Cleft%28x%20%5Cright%20%29%5Cright%29%5C%2C%5Ctext%7Bd%7Dx%5Cright%20%29

Super Cálculo Gif

Então 

Super Cálculo Gif

Super Cálculo 2%7Dx%5Ccot%20x%5C%2C%5Ctext%7Bd%7Dx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%5Cln%202%7D%7B2%7D%7D

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Mensagem por Willian Honorio Ter 20 Fev 2018, 22:57

Caro Gilberto. Já não consigo enxergar o que fez na primeira linha, na integração por partes.
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Mensagem por gilberto97 Ter 20 Fev 2018, 22:59

Olá Willian. Chamei x de u e cotxdx de dv.

u = x
du = dx

dv = cotxdx
v = ln(sinx)

int udv = uv - int vdu

uv = xln(sinx) (Fácil ver que se anula nos limites considerados).
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Mensagem por Willian Honorio Ter 20 Fev 2018, 23:18

Ah! Entendi. Tuas escolhas certamente foram mais sábias que as minhas, pequei também nessa última linha. Acredito que cometi um erro bastante elementar, devo então considerar o limite das primitivas em determinado ponto no T.F.C? Estava calculando o próprio valor da primitiva em um ponto dado, o que me impedia de calcular x.ln(sinx) pois teríamos ln0  :suspect:.
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Mensagem por gilberto97 Ter 20 Fev 2018, 23:21

Não entendi muito bem o que você quis dizer, Willian.
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Mensagem por Willian Honorio Ter 20 Fev 2018, 23:26

Você disse que x.ln(sinx) se anula nos limites considerados, estava falando disso:  






Eu disse que cometi um erro elementar, pois não sabia que essa diferença era um limite no Teorema Fundamental do Cálculo. Eu interpretava equivocadamente essa diferença.
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