Super Desafio!

por felipenewton01 Qui 31 Jan 2013, 21:19

Determine todas as soluções inteiras positivas de :

(m-n)².(n²-m)=4.m².n

por **Robson Jr.** Sex 01 Fev 2013, 13:00

EDIT: Há um erro na solução. Desconsiderem.

Spoiler:

por danjr5 Sex 01 Fev 2013, 21:43

Robson Jr.,
ótimo raciocínio!!

Segue outra forma de concluir a questão:

$\boxed{(m - n)^2}$ é um quadrado perfeito, e, $\boxed{4m^2}$ também, então, igualemos.

$\\ (m - n)^2 = 4m^2 \\\\ m - n = \sqrt{4m^2} \\\\ m - n = \pm 2m \\\\ \begin{cases} m - n = 2m \Rightarrow \boxed{n = - m} \\ m - n = - 2m \Rightarrow \boxed{n = 3m}\end{cases}$

- Quando $\boxed{n = - m}$ :

$\\ n^2 - m = n \\ n^2 + n = n \\ \boxed{\boxed{n = 0}}$

Com isso, $\boxed{\boxed{m = 0}}$ .

- Quando $\boxed{n = 3m}$ :

$\\ n^2 - m = n \\ 9m^2 - m = 3m \\ 9m^2 - 4m = 0 \\ m(9m - 4) = 0 \\ \boxed{\boxed{m = \frac{4}{9}}}$

Por conseguinte, $\boxed{\boxed{n = \frac{4}{3}}}$ .

Temos como resposta os pares $\left ( 0,0 \right ) \textup{e} \left ( \frac{4}{9}, \frac{4}{3} \right )$ , mas satisfazendo o enunciado (não-negativos), a meu ver, teríamos como resposta $\boxed{\boxed{\boxed{\left ( 0,0 \right )}}}$ .

por **Leonardo Sueiro** Sex 01 Fev 2013, 21:58

0 não é positivo

por danjr5 Sex 01 Fev 2013, 22:08

Mas, pertence ao conjunto dos $\mathbb{Z}_+$ .

Se não, $\mathbb{Z}_{+}^{*}$ !

por **Leonardo Sueiro** Sex 01 Fev 2013, 22:19

Não entendi, dan. :scratch:

A questão pede o resultado no conjunto dos inteiros positivos.

por felipenewton01 Sex 01 Fev 2013, 23:04

É eu tambem achei isso danjr5, só que pelo raciocinio do Robson a questao nao possui soluçao!!

por **Robson Jr.** Sáb 02 Fev 2013, 00:56

"Soluções inteiras positivas" exclui {0, 0}. Se fosse pedido "soluções inteiras não-negativas", aí sim {0, 0} seria resposta.

por felipesantos Sáb 02 Fev 2013, 20:26

olá pessoal nesta questão , temos o seguinte:

Seja d= mdc(m,n). Temos m=da , n=db , com mdc(a,b)=1 , e a equação equivale a (a-b)².(db²-a)=4a²b .Como mdc(b,a-b)=1, segue que b|db²-a ,onde b|a , e logo b=1 .

Temos então (a-1)²(d-a) = 4a² .Como mdc (a,a-1)=1 e (a-1)²|4a² , segue que (a-1)²|4 , onde (I) a-1 =1 ou
(II) a-1 =2 .

No primeiro caso ,temos a=2 , d-a=16, onde d =18 , e no segundo a=3 , d-a=9 , onde d =12.
Assim , as duas soluções são (m,n)=(36,18) e (m,n)=(36,12)

Valeu abraço!!