Pêndulo simples

por Urmendel Dom 28 maio 2017, 11:47

Ache a longitude de um pêndulo simples, se seu periodo aumenta em 0,4 s ao aumentar em um metro sua longitude.
Resposta: 5,76 m

por igorrudolf Dom 28 maio 2017, 12:22

Olá,
Considerações:
(pi)² = 10
g = 10 m/s²

Sabendo que o período de um pêndulo simples é dado por:
$T=2\pi\sqrt\frac{L}{g}$

Pelo enunciado, podemos escrever:
$T_1=2\pi\sqrt\frac{L}{g}$ ; $T_2=2\pi\sqrt\frac{L+1}{g}$

Onde T2 = T1 + 0,4

Assim:

$T_1+0,4=2\pi\sqrt\frac{L+1}{g}\rightarrow \: 2\pi\sqrt\frac{L}{g}+0,4=2\pi\sqrt\frac{L+1}{g}$

$2\pi\sqrt{L}+0,4\sqrt{g}=2\pi\sqrt{L+1}\\\\\rightarrow 0,4\sqrt{g}=2\pi\sqrt{L+1}-2\pi\sqrt{L}\\\\\rightarrow 0,4\sqrt{g}=2\pi{(\sqrt{L+1}-\sqrt{L})}$

Elevando ambos os lados da expressão ao quadrado:

$1,6=4\pi^{2}(L+1+L-2\sqrt{L^{2}-L})\\\\\rightarrow -0,96=2(L-\sqrt{L^{2}-L})\\\\\rightarrow \sqrt{L^{2}-L}=L+0,48$

Elevando novamente ambos os lados ao quadrado:

$L^{2}+L=L^{2}+0,96L+0,2304\\\\\rightarrow 0,04L=0,2304\\\\L=5,76\: m$

OBS: Ocultei alguns passos das operações, como as horas que considerei g = 10 e (pi)² = 10, para que não ficasse muito longo.
Caso se perca pode falar!

por Urmendel Dom 28 maio 2017, 12:38

igorrudolf escreveu:Olá,
Considerações:
(pi)² = 10
g = 10 m/s²

Sabendo que o período de um pêndulo simples é dado por:
$T=2\pi\sqrt\frac{L}{g}$

Pelo enunciado, podemos escrever:
$T_1=2\pi\sqrt\frac{L}{g}$ ; $T_2=2\pi\sqrt\frac{L+1}{g}$

Onde T2 = T1 + 0,4

Assim:

$T_1+0,4=2\pi\sqrt\frac{L+1}{g}\rightarrow \: 2\pi\sqrt\frac{L}{g}+0,4=2\pi\sqrt\frac{L+1}{g}$

$2\pi\sqrt{L}+0,4\sqrt{g}=2\pi\sqrt{L+1}\\\\\rightarrow 0,4\sqrt{g}=2\pi\sqrt{L+1}-2\pi\sqrt{L}\\\\\rightarrow 0,4\sqrt{g}=2\pi{(\sqrt{L+1}-\sqrt{L})}$

Elevando ambos os lados da expressão ao quadrado:

$1,6=4\pi^{2}(L+1+L-2\sqrt{L^{2}-L})\\\\\rightarrow -0,96=2(L-\sqrt{L^{2}-L})\\\\\rightarrow \sqrt{L^{2}-L}=L+0,48$

Elevando novamente ambos os lados ao quadrado:

$L^{2}+L=L^{2}+0,96L+0,2304\\\\\rightarrow 0,04L=0,2304\\\\L=5,76\: m$

OBS: Ocultei alguns passos das operações, como as horas que considerei g = 10 e (pi)² = 10, para que não ficasse muito longo.
Caso se perca pode falar!

Muito didático. Entendi.
Obrigado, igor!
Tmj!!!

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