1280 problemas selecionados Gandhi

por quevedo Qui 18 maio 2017, 15:48

Dado um inteiro positivo a > 1, escrito no notação decimal, seja b o número obtido ao colocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa. sabendo que b é um múltiplo de a^2., o número de valores possíveis de b/a² é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) mais de 3

por **Elcioschin** Sex 19 maio 2017, 14:29

b = (aa)₁₀ --> b = 10.a + a ---> b = 11.a ---> I

b = k.a² ---> k inteiro ----> II

II = I ---> k.a² = 11.a ---> a² = 11.a/k

b/a² = 11.a/(11.a/k) ---> b/a² = k ---> um único valor

por quevedo Seg 22 maio 2017, 05:09

Caro Elcioschin,
pensei exatamente nisso, o problema q encontrei é que não é falado q a é um algarismo, apenas q a > 1. Assim, acho q seria uma restrição falar que b = 10a + a.
o correto seria falar que b = a.10^n + a, com a = n algarismos

por **Elcioschin** Seg 22 maio 2017, 11:26

quevedo

Concordo contigo: eu tinha interpretado erradamente que a era um algarismo e na realidade é um número.

Parece-me então que a solução seria então bem simples, sem necessitar da 1ª linha:

b = (aa)₁₀ = a.10ⁿ + a ---> b = a.(10ⁿ + 1) ---> n ∈ ℕ*

b é múltiplo de a² ---> b = k.a² ---> k inteiro

b = k.a² ---> b/a² = k ---> como k é um número, existe apenas 1 solução

Será somente isto?

por quevedo Qui 25 maio 2017, 10:53

Pensei o seguinte, mas não fui longe, e não sei se viajei.
se b é multiplo de a² , logo a² |b, então a| 10^n + 1.
Então seria só estudar os casos em que 10^n + 1 = ka.
Mas não é tão fácil assim, acho.
se n = 1, a = 11.
Se n = 3 (por exemplo), a pode ser 7 ou 143.
etc.