Trigonometria minha resolução

A soma de todas as soluções reais da equação sen 2x = cos x, no intervalo [0, 2π] é

[size=13]a)3π/2 
b)2π 
c)5π/2 
d)3π 
e)7π/2 



Minha resolução: 2*sen x* cos x = cos x   =>  2 * sen x = 1   =>  sen x = 1/2.

Então, temos duas possibilidades:

Sen x = pi/6 + 2kpi    ou sen x = 5pi/6 + 2kpi.   Como x está no intervalo [0,2pi], só temos essas duas alternativas.

Somando as duas soluções ficamos com 2pi. Só que o gabarito é 3pi. Onde está o erro em minha solução?[/size]

2*sen x* cos x = cos x   =>  2 * sen x = 1

Esta simplificação não pode ser feita. cos(x)=0 é solução e você efetuou uma divisão por zero ao simplificar. Há mais duas soluções para x=pi/2 e x=3pi/2.

Pq cos (x) = 0? Eu não consegui notar isso, q eu fiz uma simplificação por zero. Como o senhor enxergou isso?

Fazendo as contas: 2*sen x * cos - cos x = 0      

cos x * (2*sen x  - 1) = 0

cos x = 0 ou sen x = 1/2

Fazendo as contas, eu consigo chegar que cos x = 0 mesmo. Só que olhando para isso: 
 
sen 2x = cos x, como saberei que cos x = 0? antes de fazer as contas. Vixe, agora fiquei com medo de fazer simplificações em equações trigonométricas. Existe algum modo deu saber q não estou cometendo absurdo de simplificar por zero?

Existe algum modo deu saber q não estou cometendo absurdo de simplificar por zero?

Se não for evidente, não simplifique. Isso é uma regra básica com qualquer incógnita.

A regra básica para equações (ou inequações) é:

NUNCA divida uma equação por uma variável (cosx), pois você NÃO sabe o valor de cosx
SE cosx for igual a a zero a conta é proibida.
Assim, o correto é colocar cosx em evidência e obter uma fatoração. Sendo nula a a fatoração, cada um dos fatores (ou ambos) pode ser nulo.

sen(2x) = cosx ---> 2.senx.cosx = cosx ---> 2.senx.cosx - cosx = 0 ---> cosx.(2.senx - 1) = 0 --->

Temos duas possibilidades:

1) cosx = 0 ---> x = pi/2 ou x = 3.pi/2

2) 2.senx - 1 = 0 --> senx = 1/2 ---> x = pi/6 ou x = 5.pi/6

S = (pi/2 + 3.pi/2) + (pi/6 + 5.pi/6) ---> S = 2.pi + pi ---> S = 3.pi