Análise combinatória de um polígono regular

Considere os vértices do polígono regular ABCDEFGHIJ, e responda :

a) Quantos são os quadriláteros determinado pelos vértices desse polígono ?
Resolução : 10!/4!6! = 210

b) Quantos desses quadriláteros possuem apenas um par de lados paralelos ?

Resposta:

Obs.:Gostaria apenas da resolução da letra B, agradeço desde já !

Vamos fazer uma análise de todos os quadriláteros que tem AB por lado

Note que AB e FG são lados paralelos. Neste caso AG e BF também são paralelos, logo o quadrilátero ABFG não serve (tem dois pares de lados paralelos)

Vamos marcar, então, todos os quadriláteros que tem AB por lado (em vermelho o proibido):

ABCD - ABCE - ABCF - ABCG - ABCH, ABCI - ABCJ 
ABDE - ABDF - ABDG - ABDH - ABDI - ABDJ
ABEF - ABEG - ABEH - ABEI - ABEJ
ABFG - ABFH - ABFI - ABFJ
ABGH - ABGI - ABGJ
ABHI - ABHJ
ABIJ

Já são 27 quadriláteros com apenas 1 par de lados paralelos

Resta fazer, para os demais lados (BC, CD, DE, EF, FG, GH, HI, IJ)

Do mesmo modo, serão proibidos BCGH,  CDHI, DEIJ, EFJA

Estenda este raciocínio para tentar completar. Pelo visto parece que são mais de 30 o que leva a pensar que o gabarito está errado.

 

Dois lados serão paralelos caso o número de vértices opostos ao outro par de lados opostos for igual (esse segundo par é de lados iguais). Como vemos na imagem (A), os lados vermelhos são paralelos e o número de vértices opostos aos lados azuis é igual, e, nesse caso, vice-versa. Já na imagem (B), os lados vermelhos são paralelos, mas não possuem número de vértices opostos iguais (são diferentes), portanto, os lados laranja e verde não são paralelos. Assim, pode-se entender cada quadrilátero formado como uma permutação de vértices opostos, e nesse formato podemos distinguir quais possuem um, dois ou nenhum par de lados paralelos. Como sobram 6 vértices, cada lado pode estar oposto de 0 a 6 vértices e desconsiderando as permutações obtidas por rotação (ex: ABBA, AABB, BAAB, BBAA), temos as seguintes soluções:

0,0,0,6
0,0,1,5
0,5,1,0
0,1,0,5
0,0,2,4
0,4,2,0
0,2,0,4
0,0,3,3
0,3,0,3
0,1,2,3
0,3,2,1
0,2,1,3
0,2,3,1
0,3,1,2
0,1,3,2
1,1,1,3
1,1,2,2
1,2,1,2
0,2,2,2
0,4,1,1
0,1,1,4
0,1,4,1

Como vemos, existem 22 respostas, o que poderia dar a entender que seriam 220 quadriláteros. Entretanto, os valores em rosa são retângulos, por possuírem ambos os lados opostos paralelos, e pela simetria, só produzem 5 quadriláteros, como visto na imagem (A). Os valores em vermelho não possuem nenhum lado paralelo, como pode ser verificado: os lados opostos possuem todos números diferentes de vértices opostos (lembrando que os opostos são representados pelo 1° e 3° valores, ou 2° ou 4°). Os valores em verde possuem apenas um dos pares iguais, e portanto, apenas um par de lados paralelos. Desse modo:


Número de quadriláteros: 14*10 + 6*10 + 2*5 = 210


Quadriláteros com apenas um par de lados paralelos: 6*10 = 60

Imagem das soluções: