Dúvida em exercício de pêndulo simples

por calebechumbo Sex 25 Nov 2016, 04:17

(UFG) Em um certo planeta, um pêndulo simples oscila com a mesma frequência que na Terra. Sabendo que a densidade de massa do planeta é duas vezes menor que a da Terra, deduza uma expressão para o raio do planeta em função do raio R da terra.

Gabarito: Rp = 2R

Estou com muita dificuldade nesse exercício, como que eu chego nessa resposta, alguém poderia me explicar???

por **JoaoGabriel** Sex 25 Nov 2016, 12:31

Expressão do período do pêndulo:

$\\\\T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \therefore f= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Como oscilam na mesma frequências nos dois planetas:

$\\\\\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g_p}{l}} \therefore g = g_p$

Portanto:

$\\\\ \frac{GM}{R^2} = \frac{GM_p}{R_p^2}$

Apliquemos a informação sobre a densidade:

$\\\\\mu _p = \frac{3M_p}{4\pi R_p^3} = 0.5 \times \frac{3M}{4\pi R^3}\therefore \frac{M_p}{M}= 0.5\times (\frac {R_p}{R})^3$

Combinando os dois resultados:

$\\\\\frac{M_p}{M}= 0.5\times (\frac {R_p}{R})^3= (\frac {R_p}{R})^2\\\\\frac {R_p}{R} = 2\therefore R_p = 2R$

Abraços.

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