(Fuvest) Triângulo + circunferência

por dani1801 Qui 29 Set 2016, 16:09

Considere o triângulo ABC, onde A = ( 0; 4 ) , B = ( 2; 3 ) e C é um ponto qualquer da circunferência $(Fuvest) Triângulo + circunferência Mimetex$ + $(Fuvest) Triângulo + circunferência Mimetex$ = 5 . A abcissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é :

R: 1

Na verdade estou com umas dúvidas!
O centro é (0;0) e R= raiz 5, os pontos A e B estão fora da circunferência
Eu queria saber por que a necessidade de descobrir coeficiente angular das duas retas (e se é preciso) e como saber se são perpendiculares (pois já vi outra resolução)
Há outra forma de fazer ?

por **Claudir** Sex 30 Set 2016, 12:33

- Calculando a área do triângulo (A), deixando em função de y, derivando e igualando a zero para obter o valor mínimo:

$\\\\\frac{1}{2}\begin{Vmatrix} 0 &4 &1 \\ 2 &3 &1 \\ x_c&y_c &1 \end{Vmatrix}=A\to \frac{|x_c+2y_c-8|}{2}=A\\\\x_c^2+y_c^2=5\to x_c=\sqrt{5-y_c^2}\\\\A=\frac{\sqrt{5-y_c^2}+2y_c-8}{2}\to \frac{dA}{dy}=\frac{d}{dy}\left [ \frac{\sqrt{5-y_c^2}+2y_c-8}{2} \right ]=0\\\\\frac{-y_c}{2\sqrt{5-y_c^2}}+1=0\to y_c=\pm 2\to x_c=1$

Testando na fórmula da área, ela será mínima para y_c = 2.

por **Medeiros** Sáb 01 Out 2016, 03:54

Outro modo, sem derivar.

r = [A, B] ----> (r) y = -x/2 + 4 ----> m = -1/2.

O ponto C que torna a área do triâng. ABC a menor possível é aquele que aquele que acarreta a menor altura em relação a reta r. Logo, é o ponto da circunferência que está mais próximo de r.

(circunf.) x² + y² = 5 ----> centro = O(0, 0) -----> y = ±√(5 - x²)

Seja a reta s perpendicular à r, passando pelo centro da circunferência.
(s) y = 2x
O ponto C estará na intersecção de s com a circunferência. Fazendo um esboço, notamos que obviamente C pertence ao primeiro quadrante. Então podemos escrever
+√(5 - x²) = 2x
x² + 4x - 5 = 0
--> x = -10 .......... evidentemente não serve
--> x = 1 -----> y = 2
.:. C(1, 2)

por wadekly Dom 14 Abr 2024, 22:43

Claudir escreveu:- Calculando a área do triângulo (A), deixando em função de y, derivando e igualando a zero para obter o valor mínimo:

$gif.latex?\\\\\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}&space;0&space;&4&space;&1&space;\\&space;2&space;&3&space;&1&space;\\&space;x_c&y_c&space;&1&space;\end{Vmatrix}=A\to&space;\frac{|x_c+2y_c-8|}{2}=A\\\\x_c^2+y_c^2=5\to&space;x_c=\sqrt{5-y_c^2}\\\\A=\frac{\sqrt{5-y_c^2}+2y_c-8}{2}\to&space;\frac{dA}{dy}=\frac{d}{dy}\left&space;[&space;\frac{\sqrt{5-y_c^2}+2y_c-8}{2}&space;\right&space;]=0\\\\\frac{-y_c}{2\sqrt{5-y_c^2}}+1=0\to&space;y_c=\pm&space;2\to&space;x_c=1$

Testando na fórmula da área, ela será mínima para y_c = 2.

Claudir, nao entendir o processo da derivada; poderia explicar melhor...?!

por **Elcioschin** Seg 15 Abr 2024, 09:39

Qual a sua dúvida:

2.A = √(5 - y_c²) + 2.y_c - 8

2.A = (5 - y_c²)^1/2 + 2.y_c - 8

Derivando o 2º membro temos coisas básicas:

1) Derivada de função exponencial, com expoente numérico
2) Derivada de uma função linear
3) Derivada de uma função constante

Em seguida iguale a derivada a zero e calcule y_c e depois x_c

Mãos à obra!

por wadekly Qui 18 Abr 2024, 17:09

Olá, Elsoschin... MUITÍSSIMO grato pela sua empatia em responder e cooperar... Nesta questão, a derivada tem o objetivo de sumir com a variável da área (A)...?! Não entendir muito bem porque tenho de igualar a zero, após derivar a equação: seria para obter a área mínima...?! Porque, igualado a ZERO, se obtém a área mínima...?! A derivação não já deixaria a equação igualada a ZERO...?!

Não ficou muito claro para mim como a derivada atenderia a área mínima do triângulo, entende...?! Conheço um pouco as regra de derivada, como a do "tombo", da soma, do produto e do quociente, embora tenho dificuldades operacionais, digamos assim, neste processo....
Mas, a forma que você colocou o problema para mim, com a s equações montadas, ficou menos nebuloso... Se puder esclarecer melhor como a derivada faz sentido na obtenção da área mínima pedida pela questão, lhe gredeceria MUITÍSSIMO... Acompanho suas resoluções aqui no Fórum há muito tempo e admiro bastante suas habilidades matemáticas... Fico a disposição....!!

por **Elcioschin** Qui 18 Abr 2024, 17:53

Parece que vc não domina bem o assunto "derivadas"

A derivada de uma função f(x) é uma outra função g(x).
O valor numérico de g(x), num ponto qualquer P do gráfico de f(x), nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico, no ponto P.

Caso o gráfico de f(x) tenha uma "corcova" para cima ou para baixo (por exemplo numa função do 2º grau em que o gráfico é uma parábola), o ponto mais alto ou mais baixo da corcova é um ponto de máximo ou de mínimo da função.

Neste ponto de mínimo ou de máximo, a reta tangente é paralela ao eixo x, logo o seu coeficiente angular vale 0

Por isto, ao procurar por pontos de mínimo ou de máximo de uma função faz-se assim:

1) Derive f(x) e obtenha a derivada g(x)
2) Iguale a derivada a zero e obtenha as raízes xP, que serão as abcissas dos pontos de mínimo ou de máximo
3) Entre com estas raízes em f(x) e obtenha as ordenadas yP.

por wadekly Qui 18 Abr 2024, 18:26

Elcioschin, a derivada de 2A=2; já a de -8=0...?!

Na derivacão de (5-y^2)^1/2, deve-se, primeiro, multiplicar o expoente 1/2 pelo expoente 2, do y, e pelo expoente 1, do 5, obtendo, respectivamente, y^1 e 5^1/2 e, após isso, iniciar a derivacão ou não...? Como disse, embora eu saiba as regras de derivacão, tenho dificuldades operacionais nesse ponto...

*^ com esse sinal, quis simbolizar a operacão ELEVADO a.

por wadekly Qui 18 Abr 2024, 18:42

BRAVÍSSIMO, Elcioschin... Você esclareceu impecalvelmente o conceito de derivadas... É claro que, pelo seu esclarecimento, a ordenada (Y) do ponto de mínimo ou de máximo não pode ser obtida pela funcao derivada obtida, pois ela vale ZERO nesses pontos, uma vez que a tangente do gráfico neles é NULA, certo...?! Dessa forma, a ordenada Y deve se obtida pela funcão de origem, da qual resultou derivada... Ficou claro, agora, pelas suas elucidacões, porque o Claudir havia imposto a condicão de igualar a derivada a ZERO para atender à condicão de área mínima do triângulo... Nas funcões lineares,não faria sentido se pensar em pontos de mínimo e máximo...?!