Enem 2001 - Porcentagem

Em um colégio, 40% da arrecadação das mensalidades correspondem ao pagamento dos salários dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio é de estudantes carentes, que pagam mensalidades reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5% nas mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos gerados por reajuste de 5% na folha de pagamento dos professores. A associação de pais e mestres concorda com o aumento nas mensalidades, mas não com o índice proposto. Pode-se afirmar que 

A) o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto nas mensalidades não é suficiente para cobrir os gastos adicionais.
b) o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste nas mensalidades que ele propôs cobrirá exatamente os gastos adicionais.
C) a associação está correta em não concordar com o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação adicional baseada nesse índice superaria em muito os gastos adicionais.
 D) a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas.
E) o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas mensalidades, baseado no fato de que a metade dos alunos paga mensalidades reduzidas.

Não estou conseguindo interpretar essa resolução:


 Seja x o total arrecadado pelo colégio. Com reajuste, teríamos 0,05.0,4x = 0,02x, o que corresponde a apenas 2% de aumento sobre o valor arrecadado.  Logo, um reajuste de 5% superaria em muito os gastos adicionais.


Não estou conseguindo interpretar essa expressão 0,05.0,4x = 0,02x.

hugo araujo escreveu:Em um colégio, 40% da arrecadação das mensalidades correspondem ao pagamento dos salários dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio é de estudantes carentes, que pagam mensalidades reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5% nas mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos gerados por reajuste de 5% na folha de pagamento dos professores. A associação de pais e mestres concorda com o aumento nas mensalidades, mas não com o índice proposto. Pode-se afirmar que 

A) o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto nas mensalidades não é suficiente para cobrir os gastos adicionais.
b) o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste nas mensalidades que ele propôs cobrirá exatamente os gastos adicionais.
C) a associação está correta em não concordar com o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação adicional baseada nesse índice superaria em muito os gastos adicionais.
 D) a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas.
E) o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas mensalidades, baseado no fato de que a metade dos alunos paga mensalidades reduzidas.

Não estou conseguindo interpretar essa resolução:


 Seja x o total arrecadado pelo colégio. Com reajuste, teríamos 0,05.0,4x = 0,02x, o que corresponde a apenas 2% de aumento sobre o valor arrecadado.  Logo, um reajuste de 5% superaria em muito os gastos adicionais.


Não estou conseguindo interpretar essa expressão 0,05.0,4x = 0,02x.


Na minha interpretação, 0,02x é como se fosse que serão necessários apenas 2% do valor arrecado para cobrir as despesas com os salários dos professores, e obviamente isso está errado. Qual é a melhor forma para interpretar esse expressão ?

Boa tarde, Hugo.

M = valor normal da mensalidade escolar
M.x = valor reduzido dela, sendo x uma fração qualquer, menor que 1

Arrecadação:
M/2 + Mx/2 = (M + Mx)/2 = M(1+x)/2 → com x<1

Salários dos professores:
40/100 * [M(1+x)/2  = 40.M(1+x)/200 = M(1+x)/5

Saldo para a escola:
M(1+x)/2 - M(1+x)/5 = [5M(1+x) - 2M(1+x)]/10 = 3M(1+x)/10

Como o aumento foi proposto apenas para cobrir as despesas com o aumento dos salários dos professores, entende-se que o saldo para a escola deve continuar igual, ou seja:
nova arrecadação = total novos salários professores + saldo da inalterado da escola

Calculemos o valor dos salários dos professores com o aumento de 5%:
100% + 5% = 100/100 + 5/100 = 105/100 = 1,05 * total anterior dos salários

Novo total salários professores:
1,05 * M(1+x)/5 = 105*M(1+x)/500 = 21M(1+x)/100

Nova arrecadação:
21M(1+x)/100 + 3M(1+x)/10 = 21M(1+x)/100 + 30M(1+x)100 = 51M(1+x)/100

Nova arrecadação – arrecadação anterior:
51M(1+x)/100 - M(1+x)/2 = 51M(1+x)/100 - 50M(1+x)/100 = M(1+x)/100

Aumento que deveria ter sido proposto para ser justo:
M(1+x)/100 / M(1+x)/2 = M(1+x)/100 * 2/[M(1+x)] = 2/100 = 2%


Logo, o aumento proposto de 5% nas mensalidades de todos os alunos ultrapassou em 3% a necessidade!


Alternativa (C)



Um abraço.

Obrigado Ivomilton. Abraços 

Sumarizando a sua resolução, temos:

Antes do aumento do salário dos professores, a arrecadação (A) para cobrir a folha salarial (S) era de 40%.

S = 0,4A

Os professores concordam com o aumento de 5% nos seus salários, portanto a nova arrecadação passa a ser de:

S.1,05 = x.A

x = (S.1,05)/A

x = 1,05.0,4 

x = 0,42

Portanto a nova folha salarial corresponde a 42% da arrecadação da instituição, desse modo a mesma precisará de um aumento de 2% nas suas receitas para cobrir o aumento dado aos professores.