ESCOLA NAVAL - INTEGRAL 2015

Relembrando a primeira mensagem :

Resolvendo             encontra-se
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boa tarde senhores irei ajuda-los nessa questão porém estou no trabalho.

Chegando em casa mando a solução

boa tarde senhores irei ajuda-los nessa questão porém estou no trabalho.

Chegando em casa mando a solução

Irei utulizar o symbolab para demonstrar os passos.

Quero deixar claro que o fato que acarretou na anulação dessa bela integral foi  "sec^2(2x) - 1 " quando deveria ser "1- sec^2(2x)" logo fará sentido.

Vamos aos cálculos:

passo 1: multiplicar a secante pelo numerador

\int \:\frac{\left(tg2x\cdot \:cos^42x\cdot \:sec^2x-\:\frac{sen^42x}{cotg2x}\cdot \:sec^2x\right)}{e^{2tgx}\cdot cos4x\cdot \sqrt{1-sec^2x}}dx


Passo 2: note duas coisas, que o inverso de cotg2x é tg2x e que 1-sec^2(2x) = tg^2(2x)

\int \:\:\frac{\left(tg2x\cdot \:\:cos^42x\cdot \:\:sec^2x-\:sen^42x\cdot \:tg2x\cdot \:\:sec^2x\right)}{e^{2tgx}\cdot \:cos4x\cdot \:\sqrt{tg^22x}}dx

passo 3: 

\int \:\:\frac{tg2x\left(\:cos^42x\cdot \:\:sec^2x-\:sen^42x\cdot \:\:sec^2x\right)}{e^{2tgx}\cdot \:cos4x\cdot \:tg2x}dx

passo 4:

\int \:\:\frac{\:cos^42x\cdot \:\:sec^2x-\:sen^42x\cdot \:\:sec^2x}{e^{2tgx}\cdot \:cos4x}dx

passo 5:

\int \:\:\frac{sec^2x\left(\:cos^42x-\:sen^42x\right)}{e^{2tgx}\cdot \:cos4x}dx

Passo 6:

\int \:\:\frac{sec^2x\:\left(cos^22x+sen^22x\right)\cdot \left(cos^22x-sen^22x\right)}{e^{2tgx}\cdot \:cos4x}dx

passo 7: OBS: O SENO QUADRADO DE UM ANGULO SOMADO COM SEU COSSENO QUADRADO É = A 1

\int \:\:\frac{sec^2x\:\left(cos^22x-sen^22x\right)}{e^{2tgx}\cdot \:cos4x}dx

passo 8: OBS: a diferença do cosseno quadrado de um angulo x pelo quadrado de seu seno é cosseno quadrado de 2x no nosso caso 4x.

\int \:\:\frac{sec^2x\:\cdot cos4x}{e^{2tgx}\cdot \:cos4x}dx

passo 9:

\int \:\:\frac{sec^2x\:}{e^{2tgx}}dx

passo 10:

\int \:\:sec^2x\:\cdot e^{-2tgx}dx

passo 11:

u = -2tgx

du = -2sec^2(x)

-\frac{1}{2}\int \:\:du\:\cdot e^u

e finalmente teriamos  resposta final 

-\frac{1}{2}e^{-2tgx}+C

Que está na opção B