Trapézio isósceles

por AndQ Qua 04 maio 2016, 11:47

Num trapézio isósceles ABCD, AB=BC=CD. Sendo α a medida dos ângulos agudos do trapézio e 2α a medida dos ângulos obtusos, determine em graus o maior ângulo formado pelas diagonais AC e BD

por PRIATELIA Qua 04 maio 2016, 18:48

Sabendo que ÂNGULOS Â + B + C + D = 360 (QUADRILÁTERO)

sendo B + C = 2α e A +D = α TEMOS 2α +α = 360 ENTÃO α = 120 GRAUS

assim B+C=240 então B=C=120 E A+D=120 então A=D=60 TRAPÉZIO ISOSCELES

TRAÇANDO A DIAGONAL BD TEMOS UM TRIANGULO ISÓSCELES BCD onde C=120 E B´=30 E D´=30

TRAÇANDO A DIAGONAL AC TEMOS UM TRIANGULO ISÓSCELES BDA onde B=120 E C´=30 E A´=30

SENDO O A INTERSEÇÃO DAS DIAGONAIS TEMOS OS

TRIANGULO B'C'O ONDE B'=30 C'=30 E O=120 que é o ângulo que procuramos.

Faça uma figura que você entenderá.

por JohnnyC Dom 23 Set 2018, 00:43

pessoal, não entendi a questão.
para mim, a resposta correta seria 60º.
resolvi com a seguintes informações:

como a questão disse que os ângulos obtusos valem 2α e os ângulos agudos, α, então teríamos que ter:

2α + 2α + α + α = 360º
α= 60º.

Como a questão quer o ângulo formado pelas diagonais, theta = 60º.

Por que errei ? Para mim, não faz sentido fazermos 2α + α = 360º.

por **Medeiros** Dom 23 Set 2018, 03:01

JohnnyC, resolvi a questão com um desenhinho para facilitar o acompanhamento.

Nota-se que em tais trapézios -- isósceles com três lados iguais e ângulos obtusos igual ao dobro dos agudos -- as diagonais acarretam as seguintes propriedades:
-- são bissetrizes dos ângulos agudos;
-- formam triângulos isósceles com os lados iguais do trapézio;
-- formam triângulos retângulos com o lado maior do trapézio;
-- os ângulos entre as diagonais repetem a medida dos ângulos do trapézio.

por JohnnyC Dom 23 Set 2018, 12:05

Medeiros, acredita que o senhor foi a minha primeira lembrança quando fui tirar a dúvida nessa questão ? Justamente por causa dos desenhos! hahaha
Muito obrigado pelas ajudas, amigo. Excelente resolução!!!!

por adriano100 Seg 24 Set 2018, 19:35

Ai vai mais uma solução, que talvez seja interessante pelo tipo de argumento utilizado que nos faz relembrar propriedades importantes:

1. Obtemos α = 60º pelo raciocínio utilizado pelo JohnnyC ou pelo Medeiros.

2. Observe que o trapézio é metade de um hexágono regular e um quadrilátero cíclico (soma dos ângulos opostos é 180º), portanto existirá uma circunferência circunscrita a ele, cujo diâmetro é exatamente a base do trapézio, como na figura abaixo

3. Pelas propriedades de ângulos em circunferências, temos que
θ=[m(AD)+m(BC)]/2
em que m(AD) e m(BC) são as medidas dos ângulos relacionados aos arcos AD e BC.

4. Como m(AD)=180º e m(BC)=60º, concluimos que θ=240º/2=120º