matematica
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matematica
por John von Neumann jr Ter 03 maio 2016, 16:31
Mostre que x^2 − y^2 = a^3 sempre tem solução inteira (x, y), dado que a ∈ Z.
John von Neumann jr- Jedi
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Re: matematica
por Elcioschin Ter 03 maio 2016, 18:50
x² - y² = a³
(x - y).(x + y) = a.a² ---> Igualando termo a termo:
x - y = a
x + y = a²
------------
2.x = a² + a ---> x = (a² + a)/2 ---> x = a.(a + 1)/2
(a² + a)/2 - y = a ---> y = (a² - a)/2 ---> y = a.(a - 1)/2
Se a = par ---> a/2 é inteiro ---> x, y são inteiros
Se a = ímpar ---> (a ± 1)/2 é inteiro ---> x, y são inteiros
C.Q.D.
(x - y).(x + y) = a.a² ---> Igualando termo a termo:
x - y = a
x + y = a²
------------
2.x = a² + a ---> x = (a² + a)/2 ---> x = a.(a + 1)/2
(a² + a)/2 - y = a ---> y = (a² - a)/2 ---> y = a.(a - 1)/2
Se a = par ---> a/2 é inteiro ---> x, y são inteiros
Se a = ímpar ---> (a ± 1)/2 é inteiro ---> x, y são inteiros
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