Velocidades antes de se chocarem com o solo

por Edgar Gomes Ter 19 Abr 2016, 21:14

Duas pequenas esferas, A, de massa mA=2m, e B, de massa mB=m, são lançadas com a mesma energia cinética, mas em direções diferentes, a uma certa altura do solo. Sejam VA e VB, respectivamente, as velocidades das esferas A e B imediatamente antes de se chocarem com o solo. Supondo os atritos desprezíveis, a razão |VA| / |VB| é igual a:

A) 2

B) √2

C) 1

D) 1/2

E) (√2)/2

Dúvidas:Não consigo manipular para encontrar o resultado do gabarito pale

segue algumas relações abaixo que consegui obter, mas não sei se estão corretas.

$E_{A}=E_{B}\Rightarrow \frac{1}{2}m_{A}V_{0A}^2=\frac{1}{2}m_{B}V_{0B}^2\Rightarrow\\\\V_{0B}^2=2V_{0A}^2\\\\E_{inicial}=E_{final}\rightarrow\;E_{P(inicial)}+E_{C(inicial)}=E_{C(final)}\\\\V_{fA}^2=2gh+V_{0A}^2\\\\V_{fB}^2=2gh+V_{0B}^2\\\\\frac{V_{fA}^2}{V_{fB}^2}=\frac{2gh+V_{0A}^2}{2gh+V_{0B}^2}=\frac{2gh+V_{0A}^2}{2gh+2V_{0A}^2}$

por **Euclides** Ter 19 Abr 2016, 22:15

Raciocine assim:

Ambos partem com mesma energia cinética. A diferença de energia mecânica entre eles se dá apenas pela energia potencial de altura. Isso, essa diferença e onde ela reside, se manterá constante desde o começo, em qualquer ponto. No final

$\\\frac{1}{2}2mv_{A}^2=\frac{1}{2}mv_{B}^2\;\;\to\;\;\frac{v_A^2}{v_B^2}=\frac{1}{2}\;\to\;\;\frac{v_A}{v_B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

por Edgar Gomes Ter 19 Abr 2016, 22:20

Muito obrigado.

por **Euclides** Ter 19 Abr 2016, 22:41

Agora, me ocorreu que possivelmente não fui muito claro na explicação anterior. Vou tentar melhorar.

Vamos acompanhar ambos até que subam, desçam e voltem à posição inicial. Então terão ambos, ainda, a mesma energia cinética (E) que agora vai receber uma nova parcela devido à queda até o chão

$\\\text{para A: }\;\;\;2mgh=\frac{1}{2}2mv_A^2\;\;\;\to\;\;\;mgh=\frac{1}{2}mv_A^2 \\\\\text{para B: }\;\;\;mgh=\frac{1}{2}mv_B^2\;\;\;\to\;\;\;mgh=\frac{1}{2}mv_B^2$

o acréscimo de energia cinética é o mesmo, o que mantém a igualdade.

por Edgar Gomes Qua 20 Abr 2016, 07:16

acho consegui equacionar o que você quis dizer. É assim ?

$\\\\E_{inicial}=E_{final}\rightarrow\;E_{PA(inicial)}+E_{CA(inicial)}=E_{CA(final)}\\\\\ E_{inicial}=E_{final}\rightarrow\;E_{PB(inicial)}+E_{CB(inicial)}=E_{CB(final)}\\\\$

fazendo a diferença entre as energias mecânicas:

$\\\\\;E_{PB(inicial)}+E_{CB(inicial)}-E_{PA(inicial)}-E_{CA(inicial)}=E_{CB(final)}-E_{CA(final)}\\\\$

tendo em vista que eles partem da mesma altura e com mesma energia cinética, as energias potenciais iniciais e cinéticas iniciais são iguais daí retira-se a seguinte relação:

$E_{CB(final)}-E_{CA(final)}=0\\\\\Rightarrow\;E_{CB(final)}=E_{CA(final)}\\\\\Rightarrow\;\frac{1}{2}2mv_A^2=\frac{1}{2}mv_B^2\;\;\Rightarrow\frac{v_A^2}{v_B^2}=\frac{1}{2}\;\to\;\;\frac{v_A}{v_B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$