questão 1301 do livro do Gandhi

por quevedo Ter 12 Abr 2016, 18:16

Os dígitos a e b onde a≠0 são tais que o número N = ababab1 escrito no sistema de numeração decimal, é um cubo perfeito. O valor de a+b é igual a:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14

R: C

por **Elcioschin** Qua 13 Abr 2016, 13:25

1 ≤ a ≤ 9 ---> 0 ≤ b ≤ 9

Menor N = 1010101 ---> Maior N = 9999991

101 ≤ ∛N ≤ 215

Para N terminar em 1 ---> ∛N deve terminar em 1

Possibilidades: 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191 201, 211

Testando ---> 211³ = 9393931 ---> a = 9, b = 3 ---> a + b = 12 ---> C

por quevedo Qui 14 Abr 2016, 17:11

Olá Elcioschin,
perfeita a sua resolução. Só me pergunto se deve-se testar o cubo de todas as possibilidades ou há algum jeito de eliminar algumas delas. Pq senão, de fato a questão torna-se muito trabalhosa. De qualquer forma, muito grato pela ajuda.

por **Elcioschin** Sex 15 Abr 2016, 20:10

Certamente devem existir soluções algébricas, por exemplo:

N = ababab1 = a.10⁶+ b.10⁵ + a.10⁴ + b.10³ + a.10² + b.10¹ + 1

N = 1 000 000.a + 10.000.a + 100.a + 100 000.b + 1 000.b + b + 1

N = 1 010 100.a + 101 001.b + 1

Note que a primeira parcela vale 3.7.13.37.(100.a) e a 2ª vale 3.131.257.b

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