Questão 34 do livro do Gandhi

A representação decimal de \dfrac{m}{n}, onde m e n são inteiros positivos primos entre si e m< n , contém os algarismos  2,5 e 1 consecutivamente e nessa ordem. O menor valor de n para o qual isso é possível é:
(A)121
(B)123
(C)125
(D)127
(E)129


Gabarito Letra D


Link do livro https://www.lcm.com.br/site/livros/detalhesLivro/f/problemas-selecionados-de-matematica.html

A) m/121 = 0,251... ---> m ~= 30,371

Para m = 30 ---> 30/121 ~= 0,248 ---> Não serve
Para m = 31 ---> 31/121 ~= 0,256 ---> Não serve

Proceda similar para B, C, E

D) m/127 ~= 0,251... ---> m ~= 31,88 

Para m = 31 ---> 31/127 ~= 0,2441 ---> Não serve
Para m = 32 ---> 32/127 ~= 0,2519 ---> OK

Obrigado mestre Elcioschin pela solução, porém consegui um outra solução, que não é por teste de cada item das opções da resposta.


Segue a solução

Note que para n ter o menor valor possível, a parte decimal de \displaystyle\dfrac{m}{n} deve começar com os dígitos 0,251\cdots, ou seja \dfrac{m}{n}=0,251\cdots


Multiplicando tudo por 1000 temos \dfrac{1000m}{n}=251,\cdots
Então, basta resolvermos a inequação
  
    251n < 1000m < 252n   

    n < 1000m -250n < 2n   

    n < 250(4m - n) < 2n
    como m e n são inteiros positivos, logo o menor valor de 4m-n é 1, e temos que 250<2n \implies n> 125.
    Além disso, como 4m-n =1 \implies n+1 = 4m ou seja n+1 tem que ser divisível por 4   

Assim o primeiro número maior que 125 que implica em n+1 divisível por 4 é n=127.
    Logo, m=32 e a fração é

\dfrac{32}{127}\approx 0.2519685 \cdots

Corretíssimo!