Questão 2227 Gandhi

A raiz real da equação (x-2)²-4x(x-2) + (4-sqrt(x)).sqrt(x)=0, pertence ao intervalo:
a) (1, 3)
b) (2, 4)
c) (3, 5)
d) (4, 6)
e) (5, 7)

R: C

Consegui através de um algebrismo chegar a uma raiz, mas qdo estudo o outro fator que sobra, é um polinomio cubico incompleto, que não sai.

x² - 4x + 4 - 4x² + 8x + 4. Raiz de (x) - x = 0
-3x² + 3x + 4 + 4.Raiz de (x) = 0
Sendo raiz de x = y:
-3y^4 + 3y² + 4y + 4 = 0
Percebemos facilmente que -1 é uma raiz, mas não convém.
Fatorando:
(y+1)(-3y³ + 3y² +4) = 0
(-3y³ + 3y² +4) = 0
y³ - y² - 4/3 = 0
Agora usando a fórmula de Tartaglia para equações da forma y³ +py²+q, para sempre p e q reais:
Uma das raízes será:

A partir dessa fórmula, é possível encontrar o provável valor, e depois, basta lembrar que esse valor é o número que queremos ao quadrado.
Fazendo algumas aproximações, você consegue alcançar o provável intervalo.