Equação trigonométrica

por **Jose Carlos** Qua 12 Jan 2011, 17:38

Resolva a equação:

cos (x) + cos (3x) + cos (2x) = 0

Solução: S = { pi/4 ; 3*pi/4 ; 5*pi/4 ; 7*pi/4 ; 2*pi/3 ; 4*pi/3 }

por **JoaoGabriel** Qua 12 Jan 2011, 18:53

cos x + cos 2x + cos 3x = 0

cos 3x = 4 cos³ x - 3 cos x
cos x + 2cos²x - 1 + 4 cos³ x - 3 cos x = 0
Cos x = y
y + 2y² - 1 + 4y³ - 3y = 0
4y³ + 2y² - 2y - 1 = 0

Calculando pela calculadora de equações do 3º grau aqui do fórum obtemos:

R1 =~ 0,7
R2 =~ -0,7
R3 =~ -0,5

Assim, usando aproximação:

R1 = V2/2
R2 = - V2/2
R3 = -1/2

(Considerando apenas a 1º volta):

Arcos com cosseno V2/2:

pi/4, 7*pi/4

Arcos com cosseno -V2/2:

3*pi/4, 5*pi/4

Arcos com cosseno -1/2:

2*pi/3, 4*pi/3

Assim, colocando em ordem:

S = {pi/4 , 2*pi/3 , 3*pi/4, 4*pi/3 , 5*pi/4 , 7*pi/4}

Até a próxima, abraços!

por **JoaoGabriel** Qua 12 Jan 2011, 21:04

Questão bem legal Very Happy

por **Elcioschin** Qua 12 Jan 2011, 21:22

Uma maneira mais rápida:

(cos3x + cosx) + cos2x = 0 ---> Transformando a soma em produto

2*cos2x*cosx + cos2x = 0

cos2x*(2*cosx + 1) = 0 ----> Temos duas possibilidades:

1) cos2x = 0 ----> 2x = k*pi + pi/2 ----> Na 1ª volta:

k = 0 ----> x = pi/4
k = 1 ----> x = 3pi/4
k = 2 ----> x = 5pi/4
k = 3 ----> x = 7pi/4

2) 2*cosx + 1 = 0 ----> cosx = - 1/2 ----> x = 2pi/3 ou x = 4*pi/3