Lançamento projeteis ao mesmo tempo

Dois projéteis são lançados do mesmo ponto, com velocidade iguais e com ângulos de lançamentos α e β, onde (α > β). Se
ambos chegam ao mesmo ponto, mas em tempos diferentes. Considerando α= 60º, determine:
(a) O valor do ângulo β.
(b) A razão entre os tempos de chegada.

Boa tarde!

O alcance de um projétil pode ser obtido pela seguinte fórmula:
\\D=\frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta)

Como um dos ângulos vale 60, temos:
\\\sin(2\cdot{60^\circ})=\sin(2\beta)\\\sin(120^\circ)=\sin(2\beta)\\2\beta=60^\circ\\\beta=30^\circ

Agora que temos os 2 ângulos, o tempo para os dois:
Tempo para alpha:
\\x=x_0+v_0\cos(\alpha)t\\D=v_0\cos(60^\circ)t\\t_\alpha=\frac{D}{v_0\cos(60^\circ)}

Tempo para beta:
\\x=x_0+v_0\cos(\alpha)t\\D=v_0\cos(30^\circ)t\\t_\beta=\frac{D}{v_0\cos(30^\circ)}

Razão entre os tempos:
\\\frac{t_\alpha}{t_\beta}=\frac{\frac{D}{v_0\cos(60^\circ)}}{\frac{D}{v_0\cos(30^\circ)}}\\\frac{t_\alpha}{t_\beta}=\frac{cos(30^\circ)}{cos(60^\circ)}=\frac{sin(60^\circ)}{cos(60^\circ)}=\tan(60^\circ)=\sqrt{3}

Espero ter ajudado!

Como descrever o movimento?

x = x0 + V0.cosθ.t
y = y0 + V0.senθ.t - 5.t² (considerando g=10 m/s²)

Se ambos chegando no mesmo ponto, e este é representado quando y=0, então:

0 = 0 + V0.senθ.t - 5.t²
5t² - V0.senθ.t = 0

∆  = (V0.senθ)² - 4.5.0

t' = (V0.senθ + V0.senθ)/10 = (V0.senθ) / 5
t'' = 0 / 10 = 0 --> início do movimento

Logo temos t = (V0.senθ) / 5

Voltando à equação para x, temos:

x = x0 + V0.cos(θa).(ta) ---> primeiro projétil
x = x0 + V0.cos(θb).(tb) ---> segundo projétil

O sistema deve ser resolvido levando em consideração que x, x0 e V0 de um são iguais a x, x0 e V0 do outro.

cos(θa).(ta) =cos(θb).(tb)

Antes de resolver acima, vamos calcular a razão entre os tempos (ta/tb):
ta = (V0.sen(θa)) / 5
tb = (V0.sen(θb)) / 5

ta/tb = sen(θa) / sen(θb)

Agora podemos substituir:

(ta)/(tb) = cos(θb)/cos(θa)
sen(θa) / sen(θb) = cos(θb)/cos(θa)

Sabemos que θa = 60º, então:

raiz(3)/2 = 2.sen(θb).cos(θb)

Essa equação lembra alguma coisa? Sim. Da fórmula do seno de uma soma de ângulos.

raiz(3)/2 = sen(2.θb)

Mas raiz(3)/2 é o seno de 60º, então obviamente θb = 30º.

A razão entre os tempos é:

(ta)/(tb) = cos(θb)/cos(θa)
(ta)/(tb) = cos(30º)/cos(60º) = raiz(3)

A resolução poderia ser mais simples, mas optei por esse método para que o raciocínio fosse aplicável em várias situações.

Obrigado a ambos!