Função

por Carolinethz Qua 16 Mar 2016, 20:19

Considere a função f: R -> R, tal que:
{ f(xy) = f(x) + (y)
f(√3) = 3

Eu consegui descobrir o valor de f(3)=6, o valor de f(9)=12 mas para descobrir o f(1) eu não entendi o porque da passagem f(1.√3).
O gabarito é 12.

Por favor, me ajudem! Desde já, obrigada!

por **Carlos Adir** Qua 16 Mar 2016, 21:37

Toda função do modo f(xy) = f(x) + f(y) trata-se de um logaritmo. Há maneiras de provar isso, mas isso pode ser complicado de entender a primeiro momento e deixo fora por agora.
Para descobrir f(1), é necessário fazer algo que apareça ele com as propriedades:
$\\ \mathrm{Se \ x = 1, \ \ e \ y=\sqrt{3}} \\ \mathrm{f({\color{Blue} x} \cdot {\color{Red} y}) = f({\color{Blue} x}) + f({\color{Red} y})} \\ \mathrm{f({\color{Blue} 1} \cdot {\color{Red} \sqrt{3}})=f({\color{Blue} 1}) + f({\color{Red} \sqrt{3}})} \\ \mathrm{f(\sqrt{3})=f(1)+f(\sqrt{3}) \Rightarrow f(1)=0}$
Para descobrir o valor de f(3), então:
$\mathrm{f(3)=f(\sqrt{3}\cdot \sqrt{3})=f(\sqrt{3})+f(\sqrt{3})=2f(\sqrt{3})=2\cdot 3 = 6}$
E por aí vai. Se formos minuciosos, podemos perceber que:
$\\ \mathrm{f(x)=\log_a x} \\ \mathrm{f(\sqrt{3})=\log_a \sqrt{3}=\log_a \left(3^{1/2} \right )=\dfrac{1}{2}\log_a 3} \\ \mathrm{f(\sqrt{3})=3 = \dfrac{1}{2}\log_a 3 \Rightarrow 6 =\log_a 3 \Rightarrow a^6 = 3} \\ \boxed{\mathrm{a=\sqrt[6]{3}}} \\ \mathrm{\Rightarrow f(x)=6\log_{3}x}$
E podemos verificar:
$\\ \mathrm{f(1)=0} \\ \mathrm{f(\sqrt{3})=3} \\ \mathrm{f(3)=6} \\ \mathrm{f(9)=12}$

por Carolinethz Qui 17 Mar 2016, 08:20

Fiquei um pouquinho perdida nesse história de logaritimos mas entendi que deveria fazer algo que apareça o f(1) com as propriedades.
Obrigada!!!

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