Segmento de reta

Consideremos sobre uma reta r um segmento fixo AB e um ponto móvel P. Seja M o ponto médio do segmento AP e N o ponto médio do segmento BP. O que podemos dizer a respeito do segmento MN?

O segmento MN  terá medida constante e igual à metade do segmento AB
1º)A______M_______B__N__P
                                        r
2) A______M_______P__N__B
                                        r
3) P______M_______A__N__B

Gostaria de saber, por que o P vai mudando de lugar no manual do professor do FME?

Não entendi muito bem sua dúvida, mas responderei pelo que entendi:

o ponto P vai mudando de lugar ao longo da reta por que, por dado do enunciado, o ponto P é móvel. Logo, o ponto P não está em uma posição fixa. Você pode colocar "à esquerda" de A e de B (caso 3), ou "à direita" de A e simultaneamente "à esquerda" de B (caso 2), ou "a direita" de A e simultaneamente "a direita" de B (caso 1).
Isto é, o ponto P pode ocupar várias posições ao longo da reta suporte de AB. O objetivo do exercício é, aparentemente, provar que, independente de qual lugar colocarmos o ponto P (pois sendo P um ponto móvel, podemos colocá-lo arbitrariamente em determinada posição), a propriedade enunciada é sempre verdadeira.

Pense que eu te dê esse problema:
temos um segmento de rua XY e seja r o restante da rua (suponha a rua infinita para ser análoga a reta suporte de XY...)
Te peço para colocar um semáforo em algum ponto, seja no segmento XY (segmento AB, no problema) ou o restante da rua (a reta suporte de AB), você escolhe onde colocar. Você concorda que, independente de onde você escolher colocar o semáforo*, esse semáforo goza da propriedade de fazer os carros pararem no sinal vermelho? Seja "à esquerda" de X ou "à esquerda de Y" ou "à direita" de ambos ou "à esquerda" de ambos, enfim... O semáforo móvel, que você coloca onde quiser, sempre tem essa propriedade de fazer os carros pararem no sinal vermelho, independente de onde você colocar.

Da mesma forma, independente de onde você colocar P, P deve satisfazer a condição dada.

*tudo o mais mantido constante, suponhamos que todos os motoristas obedeçam as leis de trânsito...