Fatoração do polinômio (a^6) + 1

O livro deu como resposta: (a² + 1).(a² + \/3.a + 1).(a² - \/3.a + 1) e eu não consigo encontrar.
O máximo que consegui fazer foi:

(a^6) + 1 =
(a²)³ + (1)³ =
(a² + 1).(a^4 - a^2 + 1)

Usei a seguinte fatoração conhecida: (a³ + b³) = (a + b).(a² - ab + b²)
Não fiz (a³)² + (1)² porque acredito que não existe desenvolvimento...

a⁴ - a² + 1 = (a² + k.a + 1).(a² - k.a + 1)

a⁴ - a² + 1 = a⁴ + (2 - k²).a² + 1

Comparando termo a termo:

2 - k² = - 1 ---> k² = 3 ---> k = √3

Por quê que eu posso chamar "a⁴ - a² + 1" de "(a² + k.a + 1).(a² - k.a + 1)"?

1) Um polinômio do 4º grau pode ser expresso por dois polinômios do 2º grau: j.x² ± k.x + l

2) Devemos ter j = 1 pois é o coeficiente de x⁴ no polinômio do 4º grau

3) Devemos ter l = 1 pois o termo independente do polinômio de 4º grau vale 1

4) Devemos ter os valores (+ k) e (- k), para possibilitar a eliminação dos termos em a³ e em a, que não existem no polinômio de 4º grau

Obviamente você poderia ter o produto de um polinômio do 1º grau por um do terceiro grau:
(a + m).(a³ ± n.a² ± p.a + q).


Tente resolver de modo similar para calcular os valores de m, n, p, q. Veja se consegue chegar numa solução.

Está certo, Elcioschin. Não sabia desse modo de fatoração. Nenhum desses 2 métodos funciona se o polinômio de 4º grau tiver algum termo em x³ ou x, não é? Vou experimentar o segundo método.

Tentei fazer o mesmo com a^4 - 18a² + 81 e não obtive sucesso:

(a² - ka + 81).(a² + ka + 81) =
a^4 + ka³ + 81a² - ka³ - k²a² - 81ka + 81a² + 81ka + 81² =
a^4 + 81a² - k²a² + 81a² + 81²

Não tem nenhum termo que faça com que o 81² seja eliminado ou se transforme em 81 novamente...

Fiz (a² - ka + 9).(a² + ka + 9) e deu certo. Encontrei k = 6.
Só funciona se eu tirar as raízes do primeiro e do último termo do polinômio de quarto grau, né?

Sim

Elcioschin escreveu:1) Um polinômio do 4º grau pode ser expresso por dois polinômios do 2º grau: j.x² ± k.x + l

Mestre Elcio, isso nem sempre é verdade. Façamos o produto desses fatores:



O próprio resultado restringe as opções do polinômio de quarto grau. Por exemplo:

     a) O polinômio não pode ter termos em x³ nem x;
     b) O termo em x⁴ e o termo independente precisam ter o mesmo sinal (embora apareçam j² e l², os termos do                    polinômio não precisam necessariamente serem positivos, porque se forem negativos basta colocar -1 em 
         evidência que ficaremos com termos positivos propícios a serem relacionados com j² e l²)

A técnica que o senhor citou, no entanto, é bastante útil quando não enxergamos a fatoração. Basta ser um pouco mais geral:



Desenvolvendo o produto e igualando os termos de mesmo grau em cada lado, cairemos num sistema de equações que será possível se houver soluções reais, e impossível se as soluções forem complexas. É importante notar que, embora os coeficientes sejam os mais generalistas possíveis, ainda assim estamos partindo de um pressuposto: que o polinômio de quarto grau em questão pode ser fatorado no produto de dois polinômios de segundo grau com coeficientes reais. O pressuposto até é verdadeiro nesse caso, mas em outros podemos chegar num sistema impossível simplesmente porque a fatoração proposta é inviável.

Um aviso ao autor do tópico: este método não é a melhor solução de qualquer problema de fatoração, pois é muito demorado. Prefiro vê-lo como um "ùltimo recurso". Frequentemente será mais rápido esperar pela inspiração de uma fatoração esperta do que aplicar esse método generalista.

Kulo escreveu:O máximo que consegui fazer foi:

(a^6) + 1 =
(a²)³ + (1)³ = 
(a² + 1).(a^4 - a^2 + 1)

Com um pouco de algebrismo, podemos escrever esse polinômio de quarto grau como uma diferença de quadrados.



Veja como dessa forma a raiz de 3 surge naturalmente. Quando você vir um gabarito com um coeficiente estranho desses, suspeite: certamente o autor da questão não esperava que o estudante enxergasse uma raiz de 3 desde o início, mas sim que ele aplicasse as fatorações básicas usuais e se surpreendesse ao ver que a resposta estava ao seu alcance.

Kulo escreveu:Tentei fazer o mesmo com a^4 - 18a² + 81 e não obtive sucesso:

Por que você tentou? Esse polinômio é claramente um quadrado perfeito! (a² - 9)²

Excelente Robson.

Geralmente eu não tenho muita paciência em experimentar os algebrismos como este último que você mostrou.

Nesta questão eu parti do pressuposto que era possível fatorar e usei a técnica de dois polinômios de 2º grau.

E o que você disse é verdade: nem todo polinômio de 4º grau pode ser fatorado!