Fatoração de Polinômio

OLá, pessoal.

Como eu faço para fatorar um polinômio?

Por exemplo, 4x^2 -118x + 840 = (2x - 24)(2x - 35). Como eu chego nesse resultado?

Grato.

Teoria para o polinômio de 2º grau:

Queremos fatorar:

ax^2 + bx+c
para uma forma:

(dx+e)(fx+g)
Desenvolvendo o último polinômio notemos que é justamente a forma adequada para o caso em questão:


(dx+e)(fx+g)=(df)x^2+x(ef+dg)x+eg=ax^2 + bx+c

Igualando potência a potência encontramos: 

df=a
ef+dg=b
eg=c

resolver este sistema para e,f g e d significa fatorar o polinômio. Qualquer semelhança com as relações de girard não é mera coincidência pois aqui eu nada mais fiz do que mostrar que um polinômio de segundo grau é fatorado em no produto de dois polinômios de primeiro grau com o coeficiente independente igual a raiz do polinômio que se deseja fatorar.  O mesmo vale para um polinômio de qualquer grau. 
 Isso não impede que um polinômio de terceiro grau, por exemplo, seja fatorado em um  de segundo multiplicado por um de primeiro, veja:
(x^2+x)*x=x^3+x^2

Se quiser fazer algo automático, para o caso do segundo grau, te recomendo usar a expressão:

ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
onde x1 e x2 são as raízes do polinômio em questão. para o seu caso a raíz sai por báskara:
x=118± V(13924-13924)/8  =    118±22 / 8
x1=70
x2=48


assim obtemos:
4(x-70)(x-48)
Que é o mesmo do que o que você citou em sua pergunta.


Esta regra é válida para qualquer polinômio de qualquer grau, mas, não dá pra ficar tirando raiz de polinômio de quinta ordem sempre. Assim o que eu te recomendo sempre é usar um bom raciocínio. veja:


4x^2 -118x + 840



A forma mais viável de fatorar isto é em dois parenteses de primeiro grau na forma:


(2x-a)(2x-b)                       (o dois em cada termo vem do fato da gente ter um 4x na expressão inicial. Pense qual será o polinômio de maior grau dentro disto)
Assim devemos procurar dois números tais que o produto seja 840 e a soma multiplicada por dois seja 118, ou seja:
AB=840
A+B=118
Você pode resolver o sistema ou pode pensar uma pouco e achar(Isto é mais fácil e mais rápido no caso de números menores). Com certeza achará: A=24 e B=35, ou vice versa, tanto faz.
Em casos excepcionais isso pode ser feito em um polinômio de terceiro grau, mas para grau maior e irredutível ai temos que recorrer aos outros métodos(Fatoração pelas raízes). Exemplo:


x^3+2x^2+x
Esse é um caso simples:
x^3+x^2+1=x^3+x^2+x^2+x=x(x^2+x)+(x^2+x)=(x+1)(x^2+x)



  Existem muitos casos assim( infinitos), e como eu sempre digo: Com o raciocínio você cria suas regras agora, com a memorização você não consegue e demora. 
  Te aconselho o quarto capítulo(se não me engano), do conjunto "fundamentos da matemática elementar", que trata de polinômios e números complexos.




Bons estudos, espero ter sido esclarecedor.


  

Valeu, Obrigado!