Fatoração de Polinômio: n³- 3n² + 2n - 24 = 0

Olá, gostaria de ajuda para fatorar o seguinte polinômio:

n³- 3n² + 2n - 24 = 0 

Este polinômio é parte da prova da UFPR do ano passado, mas estou preso nessa parte.

Sei que existe somente uma raiz real para ele, e preciso provar isso chegando na seguinte fatoração: (n² + n + 6) (n - 4) = 0 , sendo n  = 4.

O problema é que não consigo chegar nela. Gostaria de uma explicação passo a passo de como chegar nesta forma do polinômio.

Muito obrigado desde já.

Luiz Eduardo Simões escreveu:Olá, gostaria de ajuda para fatorar o seguinte polinômio:

n³- 3n² + 2n - 24 = 0 

Este polinômio é parte da prova da UFPR do ano passado, mas estou preso nessa parte.

Sei que existe somente uma raiz real para ele, e preciso provar isso chegando na seguinte fatoração: (n² + n + 6) (n - 4) = 0 , sendo n  = 4.

O problema é que não consigo chegar nela. Gostaria de uma explicação passo a passo de como chegar nesta forma do polinômio.

Muito obrigado desde já.

Boa tarde, Luiz.

O termo independente (24) é igual ao produto das raízes do polinômio
Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Testando os valores 1,2,3,... chega-se a encontra que n=4 anula o polinômio:
n³- 3n² + 2n - 24 = 0 
1³ - 3*1²+ 2*1 - 24 = 1 - 3+2- 24 = -24 (não serve)
2³ - 3*2² + 2*2 - 24 = 8 - 12 + 24 - 24 = -4 (idem)
3³ - 3*3² + 2*3 - 24 = 27 - 27 + 8 - 24 = -16 (idem)
4³ - 3*4² + 2*4 - 24 = 64 - 48+ 8 -24 = 0 → serve (então 4 é uma das raízes)

Se quiser chegar à forma fatorada, basta dividir o polinômio por (n-4):
-n³ - 3n² + 2n - 24 |__n - 4_____
-n³ + 4n² ................. n² + n + 6
-----------
..... – n² + 2n
..... + n² + 4n
----------------
..............+ 6n – 24
............. – 6n + 24
-----------------------
......................... 0



Um abraço.

Muito obrigado, ivomilton!

O que me faltava era esse conceito do termo independente ser o igual o produto das raízes dos polinômios.

Luiz Eduardo

Esta relação do colega Ivomilton vale somente para um polinômio em que o coeficiente do termo de maior grau vale 1 (nesta questão é o coeficiente de x³)

Se o polinômio for por exemplo 3.x³ + x² + x - 4 = 0 a solução é diferente:

Pesquisa de raízes racionais:

SE existirem raízes racionais, elas serão dadas pela relação (positiva ou negativa) entre os divisores do termo independente (neste caso 1, 2, 4) e os divisores do termo de maior grau (neste caso 1, 3)

Assim, as possíveis raízes racionais serão: ± 4, 2, 1, 4/3, 2/3, 1/3

O jeito é testar cada uma: pode até ser que NÃO existam raízes racionais!!!

Elcioschin escreveu:Luiz Eduardo

Esta relação do colega Ivomilton vale somente para um polinômio em que o coeficiente do termo de maior grau vale 1  (nesta questão é o coeficiente de x³)

Se o polinômio for por exemplo 3.x³ + x² + x - 4 = 0 a solução é diferente:

Pesquisa de raízes racionais:

SE existirem raízes racionais, elas serão dadas pela relação (positiva ou negativa) entre os divisores do termo independente (neste caso 1, 2, 4) e os divisores do termo de maior grau (neste caso 1, 3)

Assim, as possíveis raízes racionais serão: ± 4, 2, 1, 4/3, 2/3, 1/3

O jeito é testar cada uma: pode até ser que NÃO existam raízes racionais!!!

Entendi! Muito obrigado!