Fatoração do polinômio (a^6) + 1

Relembrando a primeira mensagem :

O livro deu como resposta: (a² + 1).(a² + \/3.a + 1).(a² - \/3.a + 1) e eu não consigo encontrar.
O máximo que consegui fazer foi:

(a^6) + 1 =
(a²)³ + (1)³ =
(a² + 1).(a^4 - a^2 + 1)

Usei a seguinte fatoração conhecida: (a³ + b³) = (a + b).(a² - ab + b²)
Não fiz (a³)² + (1)² porque acredito que não existe desenvolvimento...

"b) O termo em x⁴ e o termo independente precisam ter o mesmo sinal (embora apareçam j² e l², os termos do                    polinômio não precisam necessariamente serem positivos, porque se forem negativos basta colocar -1 em evidência que ficaremos com termos positivos propícios a serem relacionados com j² e l²)"

Deve ter sido por isso que não funcionou quando eu tentei depois em outra questão na hora de fatorar o a^4 + 4a² - 5. Tentei aplicar o método do Elcio e acabou não dando certo.

"O pressuposto até é verdadeiro nesse caso, mas em outros podemos chegar num sistema impossível simplesmente porque a fatoração proposta é inviável."

Valeu pela observação. Então ainda que tenhamos o termo independente e o termo do quarto grau com o mesmo sinal, ainda assim, nem sempre dá certo...

"Um aviso ao autor do tópico: este método não é a melhor solução de qualquer problema de fatoração, pois é muito demorado. Prefiro vê-lo como um "ùltimo recurso". Frequentemente será mais rápido esperar pela inspiração de uma fatoração esperta do que aplicar esse método generalista."

Também achei demorado quando apliquei em algumas expressões, mas de qualquer forma, é sempre bom aprender uma forma diferente, né? Mas concordo.

"Com um pouco de algebrismo, podemos escrever esse polinômio de quarto grau como uma diferença de quadrados."

Não tinha percebido essa possibilidade na altura... Mas realmente, é uma boa técnica, já que se trata de um trinômio... Transformar em um quadrado da soma e fazer a diferença pra compensar.

"Quando você vir um gabarito com um coeficiente estranho desses, suspeite: certamente o autor da questão não esperava que o estudante enxergasse uma raiz de 3 desde o início"

O que mais tem aqui é gabarito estranho, como o dessa questão por exemplo:
https://pir2.forumeiros.com/t104638-fatoracao-do-polinomio-4bc-b-c-a

"Por que você tentou? Esse polinômio é claramente um quadrado perfeito! (a² - 9)²"

Queria testar pra ver se o método do Elcio funcionava nessa situação. Eu percebi que era um quadrado da subtração, mas como foi o primeiro exemplo que vi, peguei e já testei.

Kulo, a questão no tópico https://pir2.forumeiros.com/t104638-fatoracao-do-polinomio-4bc-b-c-a tem um gabarito nem um pouco assustador, e o próprio enunciado já te entrega a expressão pronta para uma diferença de quadrados. 

Se você desfizer o enunciado, vai chegar nessa expressão:



Partir desta expressão e chegar no gabarito é um exercício de fatoração bem mais elaborado. É uma pena que a questão já te entrega pronto um dos caminhos possíveis.

Eu cheguei a desenvolver rapidamente por causa das questões anteriores que já tinha resolvido, então vi rapidamente que 4b²c² era o mesmo que (2bc)², então foi mais fácil. Quando vi o gabarito, não fazia ideia de como chegar naquilo, mas só depois de perceber o trinômio quadrado perfeito que acabou saindo.

Robson Jr. escreveu:Se você desfizer o enunciado, vai chegar nessa expressão:



Partir desta expressão e chegar no gabarito é um exercício de fatoração bem mais elaborado. É uma pena que a questão já te entrega pronto um dos caminhos possíveis.

Um iniciante se assusta mais com o (b² + c² - a²)², porque não sabe pra onde ir, o que fazer com ele. No seu caso, talvez uma pessoa que não saiba tanto consiga desenvolver de alguma forma... Parêntese assusta muita gente. Eu mesmo cheguei a procurar pelo desenvolvimento de (a² + b² + c²) no Google, pra ver se rolava alguma ideia.