Uncisal

A figura apresenta o porta-retratos no qual a Dona Jô
pretende colocar as fotos dos seus netos, filhos dos seus 4
filhos, que têm, cada um, 3 filhos. Diariamente, Dona Jô,
com receio de suspeitas de preferências, pretende mudar as
posições das fotos, mantendo os netos irmãos numa mesma
fila horizontal.

A figura é uma especia de jogo da velha com uma fileira a mais.. 3 espaços em cada horizontal, sendo que a 4 horizontais
o o o 
o o o
o o o
o o o
Se não há gêmeos idênticos dentre os seus netos, quantas
arrumações diferentes Dona Jô poderá fazer no porta-retratos?
A) 24
B) 1 296
C) 7 776
D) 31 104----Resposta
E) 479 001 600

Como chego ao resultado ?

Para os netos de cada filho na 1ª fileira horizontal existem 3! = 6 possibilidades
Para o caso, por exemplo, do filho mais velho F1 na 1ª fileira, eis as 6 soluções para as 2ª, 3ª, e 4ª fileira :

F1 - F1 - F1 - F1 - F1 - F1
F2 - F2 - F3 - F3 - F4 - F4
F3 - F4 - F2 - F4 - F2 - F3
F4 - F3 - F4 - F2 - F3 - F2

Como são 4 filhos o total para os filhos é 4.3! = 4.6 = 24

Fixados os filhos temos que distribuir, em cada fileiras horizontal, os 3 netos respectivos: 3! = 6

Por exemplo p/ a fileira horizontal do F1: N1-N2-N3, N1-N3-N2, N2-N1-N3, N2-N3-N1, N3-N1-N2, N3-N2-N1

Como são 4 fileiras o total para os netos é 3!.3!.3!.3! = 6.6.6.6 = 1 296

Total geral = 24.1 296 = 31 104

Perfeito !