Equação de Bernoulli, tubo de venturi e pitot

por **Thálisson C** Sex 06 Nov 2015, 14:01

Relembrando a primeira mensagem :

Equação de Bernoulli, tubo de venturi e pitot - Página 2 480px-BernoullisLawDerivationDiagram

Aplicando-se uma força no volume de líquido a uma altura h1 na figura, não só ele realizará um deslocamento, como também empurrará toda a coluna de líquido da tubulação a sua frente, este pequeno volume então realiza uma força sobre toda a coluna de líquido posterior que por sua vez, realiza uma força sobre o volume pequeno de líquido.

Força feita pelo líquido com altura h1 --> F = P1.A1 , logo W = P1.A1.s1

Força de reação feita sobre o pequeno volume de líquido: F' = P2.A2 , logo W' = - P2.A2.s2

Assim, usando a conservação de energia:

$\\\\E_{i} + W_{r} = E_{f} \; \Rightarrow \; mgh_{1} + \frac{mv_{1}^{2}}{2} + P_{1}\cdot A_{1}\cdot s_{1} - P_{2}\cdot A_{2}\cdot s_{2} = mgh_{2} + \frac{mv_{2}^{2}}{2}\\\\ \rho Vgh_{1} + \frac{\rho Vv_{1}^{2}}{2}+P_{1}V - P_{2}V = \rho Vgh_{2} + \frac{\rho Vv_{2}^{2}}{2} \; \rightarrow \; \\\\ \boxed{P_{1} + \rho gh_{1} + \frac{\rho v_{1}^{2}}{2} = P_{2} + \rho gh_{2} + \frac{\rho v_{2}^{2}}{2}} \; \Leftrightarrow \; \textrm{Equa\c{c}\~ao de Bernoulli}$

Aplicações (1) - Tubo de Venturi

Equação de Bernoulli, tubo de venturi e pitot - Página 2 Wch0lg

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Aplicando a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 2, queremos saber por exemplo a velocidade do fluído em 1:

$\\\\ P_{1} + \underbrace{\rho gH}_{0} + \frac{\rho v_{1}^{2}}{2} = P_{2} + \underbrace{\rho gh}_{0} + \frac{\rho v_{2}^{2}}{2} \; \Leftrightarrow \; P_{1} + \frac{\rho v_{1}^{2}}{2} = P_{2} + \frac{\rho v_{2}^{2}}{2}\\\\\\ \rho gh_{1} + \frac{\rho v_{1}^{2}}{2} = \rho gh_{2} + \frac{\rho v_{2}^{2}}{2} \;\; \Rightarrow \; \rho g\Delta h + \frac{\rho v_{1}^{2}}{2} = \frac{\rho v_{2}^{2}}{2}\\\\ v_{1} \cdot A_{1} = v_{2} \cdot A_{2} \;\; \rightarrow \;\; v_{2} = v_{1}\left ( \frac{A_{1}}{A_{2}} \right )\\\\ 2\rho g\Delta h + \rho v_{1}^{2} = \rho \cdot v_{1}^{2} \cdot \left ( \frac{A_{1}}{A_{2}} \right )^{2} \; \Rightarrow \; \boxed{v_{1} =\sqrt{ \frac{2g\Delta h}{\left ( \frac{A_{1}}{A_{2}} \right )^{2} -1}}}$

Aplicações (2) - Tubo de pitot
Equação de Bernoulli, tubo de venturi e pitot - Página 2 2iaagbb

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Aplicando novamente a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 2, e retirando a variação de energia potencial entre eles( já que estão a uma mesma altura) :

$\\\\ P_{1} + \frac{\rho v_{1}^{2}}{2} = P_{2} + \frac{\rho v_{2}^{2}}{2}\\\\\\$

A velocidade em 2, é nula, pois o fluído chega a um ponto de estagnação, se choca com o líquido parado dentro do tubo a sua frente, assim:

$\\\\ P_{1} + \frac{\rho v_{1}^{2}}{2} = P_{2} \; \Leftrightarrow \; P_{2} - P_{1} = \frac{\rho v_{1}^{2}}{2}$

Agora vamos descobrir novamente essa diferença de pressão, não a partir de Bernoulli, mas entre as pressões estáticas A e B.

$\\\\ P_{A} = P_{B} \;\; \Rightarrow \; P_{2} + \rho gh_{1} = P_{1} + \rho gh_{2}+ dg\Delta h \\\\ P_{2} + \rho g(h_{2} + \Delta h) = P_{1} + \rho gh_{2}+ dg\Delta h \; \Rightarrow \; P_{2} - P_{1} = g\Delta h(d - \rho )$

Igualando:
$\\\\ g\Delta h(d- \rho) = \frac{\rho v_{1}^{2}}{2} \;\; \rightarrow \;\; \boxed{v_{1} = \sqrt{\frac{2g\Delta h(d - \rho )}{\rho }} }$