Determine o retângulo de maior área...

Determine o retângulo de maior área contido num triângulo equilátero de lado 4cm,estando a base do retângulo num lado do triângulo.
Podem me explicar passo a passo por favor? grato.

Desenhe o triângulo equilátero ABC, de lado 4, sendo BC a base horizontal.

Desenhe o retângulo DEFG sendo DE sobre BC, F sobre AC e G sobre AB

Seja M o ponto médio de FG, N o ponto médio de BC, x = DE = FG, y = DG = EF. Trace AMN

AN = 4.cos30º ---> AN = 4.(√3/2) ---> AN = 2.√3

DN = EN = GM = FM = x/2

BD = CE = (4 - x)/2

AM = AN - MN ---> AM = 2.√3 - y

Triângulos AMF e FEC são semelhantes ---> AM/FM = EF/CE

Substitua e chegue numa equação y = f(x)

Área do retângulo ---> S = x.y ---> S = x.f(x)

Resolva e obterá uma função S do 2º grau S = a.x² + b.x + c (parábola com concavidade para baixo). O valor máximo da função S ocorre no vértice:

xV = - b/2a ---> Calcule x e depois y = f(x)

Mestre,teria um forma mais simples de se fazer(sem utilizar  coseno ou semelhante) ?estou em dúvida ainda na parte de semelhança de triângulos.poderia fazer um desenho dessa figura?

Eu usei cosseno apenas para demonstrar como se calcula a altura de um triângulo equilátero. 
Isto nem seria necessário já que a fórmula da altura de um triângulo equilátero é amplamente conhecida: h = L.√3/2

Eu mostrei o passo-a-passo, dando todas as informações de como fazer o desenho. Assim, você tem total conhecimento para fazê-lo.

E não existe uma maneira mais fácil: são necessários apenas conhecimentos básicos de Geometria Plana e de função do 2º grau.

Faça o desenho e poste aqui, junto com a sua tentativa de solução completa para analisarmos