Determine o maior número real z

tal que x + y + z = 5 e xy + xz + yz = 3, onde x e y são reais.

Elevando ao quadrado dos dois lados, tem-se:
x²+y²+z²+2(xy+xz+yz)=5² => z=√[19-(x²+y²)];
 0< x²+y² ≤19:.{0≤z<√19}

A resposta é 13/3... e essa última passagem não fez sentido pra mim.

Tentei assim....

(x + y + z)² = 5²
x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz) = 25
x² + y² + z² + 6 = 25

x² + y² + z² = 19
x² = 19 - (y² + z²)
x² = 19 - (y + z)² + 2yz

xy + xz + yz  = 3
x(y + z) = 3 - yz
x = (3 - yz)/(y + z)  =>  x² = (3 - yz)²/(y + z)²

19 - (y + z)² + 2yz = (3 - yz)²/(y + z)²

19 - (y + z)² + 2yz  =(3 - yz)²/(y + z)²

(y + z)² [19 - (y + z)² + 2yz] = (3 - yz)²

(y + z)² [(y + z)² ( 19 - (y + z)² + 2yz)] = (3 - yz)(3 - yz)

(y + z)² = (3 - yz)
y² + z² = 3(1 - yz)

19 - (y + z)² + 2yz = (3 - yz)
19 - (y + z)² = 3(1 - xy)

y² + z² = 19 - (y + z)²
y² + z² = 19 - y² - 2yz - z²
2y² + 2z² + 2yz = 19
2[y² + yz + z²] = 19

y² + 2yz + z² = 19/2   + yz

(y + z)² = 19/2 + yz

(-b/a)² = 19/2 + c/a
Fazendo a = 1

b² = 19/2 + c

Queremos que o produto seja o maior possível e a soma idem.
R = [-b +- V(b² - 4c)]/2
R = [-b +- V19 - 6c/2]/2
Como queremos o maior valor,vamos admitir somente a soma:
R = [-b + V19 - 6c/2]/2

Dai em diante não consegui...... :z

Consegui resolver:
x+y+z = 5 ----> x+y = 5-z
xy+xz+yz = 3

xy + z(x+y) = 3
xy + 5z - z² = 3
xy = z² - 5z + 3

Sistema:
x+y = 5-z
xy = z² - 5z + 3

x e y são as soluções da equação:
b² - (5-z)b + z² - 5z + 3 = 0
∆ ≥ 0
z² - 10z + 25 - 4z² + 20z - 12 ≥ 0
-3z² + 10z + 13 ≥ 0
-1 ≤ z ≤ 13/3

Logo, o maior valor é 13/3.

Boa solução

Sim, mas veja que √19 ≈ 13/3 ≈4,3 (com diferença de 2 centésimos entre um e outro).

Isso não importa, pois:
- se variasse os números dados poderia ser maior a diferença;
- numa prova seria tão errado quanto qualquer outra resposta que não fosse 13/3;
- em matemática só se aproxima (o que você fez nem foi aproximação) algo se for com "permissão" do enunciado.
Além disso:
x²+y²+z²+2(xy+xz+yz)=5² => z=√[19-(x²+y²)];
 0< x²+y² ≤19:.{0≤z<√19}
essa passagem destacada não faz o menor sentido, não teve rigor matemático.

Mas sem sombra de duvida que faz sentido, clareando sua mente:
I) Se todos são reais, isso implica que x²,y²,z² são sempre maiores que 0, independente do numero que assumirem;
II) Se z é a raiz de algo, z é real:. o que esta dentro da raiz é maior que 0;

Sendo assim x²+y² jamais pode ser maior que 19.
 I em II >  0 < x²+y² ≤ 19  , o que implica que zMax  ocorre quando x²+y² é o mais próximo possível de 0:. z é o primeiro valor abaixo de √19  ≈ 4.35, isso não compele que 13/3 ≈4,33 seja uma resposta errada, significa apenas uma resposta o mais aproximada possível sem ter que trabalhar com o calculo do limite que z pode assumir.

Espero ter ajudado!

Jonas, eu não disse que é uma má aproximação, mas disse que está errado. Mas sair impondo que x² + y² = 0 é, matematicamente, um completo absurdo. Não tem rigor nenhum fazer isso. Pode ser que te safasse uma numa prova teste, mas nada além disso e ainda precisaria de sorte. E se pedisse os valores que z pode assumir em vez de apenas o máximo? E se fosse discursiva?

"isso não compele que 13/3 ≈4,33 seja uma resposta errada, significa apenas uma resposta o mais aproximada possível"
13/3 não é uma resposta errada, é a própria resposta e não está aproximada. Sendo √19 > 13/3, você disse que z < √19, porém há um intervalo aí que corresponde a √19 - 13/3 e z não pode assumir esse intervalo.

Além disso, se x² + y² = 0 ---> x = y = 0 e isso implicaria que:
x + y + z = 5 ---> z = 5
xy + xz + yz = 3 ---> 0 = 3.

De qualquer forma, eu prezo por manter o rigor matemático e não fazer acochambrações. Mas agradeço pela tentativa de ajudar, até logo!