setor circular 90º

Seja M o ponto de tangência do círculo de área S com o semi-círculo de área branca (Sb).
Seja N o ponto de tangência do círculo de área S com a reta OA.
Seja P o ponto detangência do círculo de área S com o quadrante de área Sq
Sejam R , r os raios do semi-circulo e do círculo
Seja H o pé da perpendicular de D sobre OC

Vamos traçar as retas pontilhadas CD e ODP

CD = R + r
AH = OD = r ----> HC = R - r
ND = DP = r
OA = OB = OP = 2R

OP = OD + DP -----> 2R = CD + r ----> 2R = (R + r) + r ----> 2R = R + 2r ----> R = 2r ----> r = R/2

S = pi*r² ----> S = pi*(R/2)² ----> S = pi*R²/4 ----> (I)

Sb = pi*R²/2

Sq = pi*(2R)²/4 ----> Sq = pi*R²

Da figura temos: S1 + S2 + S3 = Sq - Sb - S ----> S1 + S2 + S3 = pi*R² - pi*R²/2 - pi*R²/4 ---->

S1 + S2 + S3 = pi*R²/4 ----> (II)

I = II -----> S = S1 + S2 + S3