Trigonometria com intervalos.

Escola Naval. Prova: Amarela. ano: 2008

O termo de mais alto grau da equação biquadrada B (x) = 0 tem coeficiente igual a 1. sabe-se que duas das raízes dessa equação são, respectivamente, o termo central do desenvolvimento de ( 1/ √2  - 1/√5 ) ⁶ e a quantidade de soluções da equação sen²x - 6 sen x cos x + 8 cos² x=0 no intervalo [0,2∏]. Pode-se afirmar que a soma dos coeficientes de B (x) vale

(A) -9
(B) -6
(C) 3
(D) 7
(E) 12

Equação biquadrada ---> a.x⁴ + b.x² + c = 0 ---> a = 1 ---> B(x) = x⁴ + b.x² + c = 0

1ª raiz de B(x) ---> T_p+1 = C(6, p).(-1/√5)^p.(1/V2)^6-p ---> Termo central = T₄ ---> p = 3

T₄ = C(6, _³).(-1/√5)³.(1/V2)³ ---> T₄ = - 20.(1/√10)³ ---> T[sub]4[sub] = - √10/5

2ª raiz de B(x) ---> sen²x - 6.senx.cos x + 8.cos² x = 0 ---> Equação do 2º grau na variável senx:

∆ = (6.cosx)² - 4.1(8.cos²x) --> ∆ = 4.cos²x ---> √∆ = 2.cosx

Raízes ---> senx = (6cosx + 2.cosx)/2 ---> senx = 4.cosx ---> tgx = 4 ---> 2 soluções na 1ª volta --->

senx = (6.cosx - 2.cosx)/2 ---> senx = 2.cosx ---> tgx = 2 ---> 2 soluções na 1ª volta

Total = 4 soluções

Além disso, as raízes de uma equação biquadrada são simétricas, duas a duas (por exemplo +1, -1 e +2, -2)

Por favor, confira minhas contas e tente agora completar (use Girard)