Transformações

por viniciusdenucci Qua 20 maio 2015, 12:13

$\\ 0<a< \frac{\pi }{2} \\ 0 <b< \frac{\pi }{2}$

Com tg(a-b) = 1 e tg(a+b) = √3, ache tg(2a+2b).

Eu pensei: "como está no primeiro quadrante e o ângulo da tg dobrou, o valor seria o oposto do valor da tg(a+b)". O resultado confere com o gabarito. Essa observação é válida? Também tentei por desenvolvimento mas deu muito cálculo e no final não cheguei ao resultado correto. (-√3)

por **Carlos Adir** Qua 20 maio 2015, 12:40

Essa observação não é válida. Se tivermos tan(a+b)=1/√3, já daria errado. Esta observação só vale porque a+b=pi/3
$\\ \mathrm{\tan \ 2\theta = \dfrac{2 tan \ \theta}{1-tan^2 \ \hteta}} \\ \mathrm{tan \ 2\left(a+b \right )=\dfrac{2 \cdot tan \ (a+b)}{1-tan^2 \ (a+b)}} \\ \mathrm{tan \ 2(a+b)=\dfrac{2 \cdot \sqrt{3}}{1-\left(\sqrt{3} \right )^2}=-\sqrt{3}}$

Método um pouco longo:
$\\ \mathrm{\tan \left(a-b \right )=1=tan \ \dfrac{\pi}{4}} \\ \mathrm{\tan \left(a+b \right )=\sqrt{3}=tan \ \dfrac{\pi}{3} } \\ \Rightarrow \begin{cases} \mathrm{a-b=\dfrac{\pi}{4}}\\ \mathrm{a+b=\dfrac{\pi}{3}} \end{cases} \\ \Rightarrow \mathrm{a=\dfrac{7\pi}{24}; \ \ \ \mathrm{b=\dfrac{\pi}{24}}} \\ \Rightarrow \mathrm{tan \left(2a+2b \right )=tan\left(2 \cdot \left(\dfrac{7\pi}{24}+\dfrac{\pi}{24} \right ) \right )} \\ \therefore \mathrm{tan \left(2a+2b \right )=tan\left(\dfrac{2\pi}{3} \right )=-\sqrt{3}}$

Lembre-se que:
$\\ \mathrm{\tan \ 2\theta = \dfrac{2 tan \ \theta}{1-tan^2 \ \hteta}}$
Essa observação só é valida por causa do ângulo de 60°.

por viniciusdenucci Qua 20 maio 2015, 13:07

Entendi, muito obrigado!

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