Transformações
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Transformações
por MALUOLVRS Qui 10 Nov 2016, 15:29
Em um triângulo isóscels, a soma das medidas dos ângulos da base é o quíntuplo da medida do ângulo do vértice. Sabendo que o lado oposto ao ângulo di vértice mede 6 cm, quanto mede cada um dos lados congruentes desse triângulo?
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Re: Transformações
por Matemathiago Qui 10 Nov 2016, 15:51
1) Descobrindo os ângulos:
Sendo os 2 ângulos da base = x e o do vértice = y:
(x + x) = 5y
2x = 5y ... 1
Porém:
x + x + y = 2x + y = 180 ...2
Substituindo 1 em 2:
6y = 180
y = 30
x = 75
2) Lei dos senos:
(sen 30)/6 = (sen 75)/k
Sendo k a medida de cada um dos lados congruentes do triângulo.
Assim:
1/12 = (sen 75)/k
1/12 = (√ 2 + √ 6) / 4k (Basta usar sen (a + b) = sen a. cos b + sen b . cos a, daí, substitui a = 30 e b = 45 para encontra o sen 75.
4k = 12 (√ 2 + √ 6)
k = 3(√ 2 + √ 6)
A resposta pode ficar assim ou em aproximações!!
Sendo os 2 ângulos da base = x e o do vértice = y:
(x + x) = 5y
2x = 5y ... 1
Porém:
x + x + y = 2x + y = 180 ...2
Substituindo 1 em 2:
6y = 180
y = 30
x = 75
2) Lei dos senos:
(sen 30)/6 = (sen 75)/k
Sendo k a medida de cada um dos lados congruentes do triângulo.
Assim:
1/12 = (sen 75)/k
1/12 = (√ 2 + √ 6) / 4k (Basta usar sen (a + b) = sen a. cos b + sen b . cos a, daí, substitui a = 30 e b = 45 para encontra o sen 75.
4k = 12 (√ 2 + √ 6)
k = 3(√ 2 + √ 6)
A resposta pode ficar assim ou em aproximações!!
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Re: Transformações
por ivomilton Qui 10 Nov 2016, 16:15
Boa tarde,MALUOLVRS escreveu:Em um triângulo isóscels, a soma das medidas dos ângulos da base é o quíntuplo da medida do ângulo do vértice. Sabendo que o lado oposto ao ângulo di vértice mede 6 cm, quanto mede cada um dos lados congruentes desse triângulo?
A+B = 5C
A+B+C = 180°
5C + C = 180°
6C = 180°
C = 180°/6
C = 30° (ângulo do vértice)
x = medida de cada um dos lados congruentes
Aplicando-se a Lei dos Cossenos, fica:
6² = x² + x² - 2.x.x.cos 30°
36 = 2x² - 2x².√3/2
36 = 2x²(1-√3/2)
36 = 2x²(2-√3)/2
36 = x²(2-√3)
x² = 36(2-√3)
x = 6√(2-√3)
Racionalizando o denominador, vem:
x = 6√(2+√3) / (2-√3)(2+√3)
x = 6√(2+√3) / (2² - (√3)² = 6√(2+√3) / (4-3)
x = 6√(2+√3)
Um abraço.
ivomilton- Membro de Honra
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Re: Transformações
por Matemathiago Qui 10 Nov 2016, 16:32
Obs.: Parte em negrito:ivomilton escreveu:Boa tarde,MALUOLVRS escreveu:Em um triângulo isóscels, a soma das medidas dos ângulos da base é o quíntuplo da medida do ângulo do vértice. Sabendo que o lado oposto ao ângulo di vértice mede 6 cm, quanto mede cada um dos lados congruentes desse triângulo?
A+B = 5C
A+B+C = 180°
5C + C = 180°
6C = 180°
C = 180°/6
C = 30° (ângulo do vértice)
x = medida de cada um dos lados congruentes
Aplicando-se a Lei dos Cossenos, fica:
6² = x² + x² - 2.x.x.cos 30°
36 = 2x² - 2x².√3/2
36 = 2x²(1-√3/2)
36 = 2x²(2-√3)/2
36 = x²(2-√3)
x² = 36(2-√3)
x = 6√(2-√3)
Racionalizando o denominador, vem:
x = 6√(2+√3) / (2-√3)(2+√3)
x = 6√(2+√3) / (2² - (√3)² = 6√(2+√3) / (4-3)
x = 6√(2+√3)
Um abraço.
36 = x² (2 - Raiz de 3)
x² = 36/ (2- Raiz de 3)
x = 6/ Raiz de (2 - raiz de 3)
Aplicando radical duplo chegamos na mesma resposta que aquela utilizando lei dos senos.
Matemathiago- Estrela Dourada
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Re: Transformações
por ivomilton Qui 10 Nov 2016, 16:55
Boa tarde, matemathiago.
Eu tinha feito corretamente.
Depois, achei que tinha uma "/" demais.
Desculpe pela falha.
No mais, o amigo tem razão: tanto usando a Lei dos Senos como usando a Lei dos Cossenos chegamos ao mesmo resultado, bastando converter minha resposta em radicais duplos.
Um abraço.
Eu tinha feito corretamente.
Depois, achei que tinha uma "/" demais.
Desculpe pela falha.
No mais, o amigo tem razão: tanto usando a Lei dos Senos como usando a Lei dos Cossenos chegamos ao mesmo resultado, bastando converter minha resposta em radicais duplos.
Um abraço.
ivomilton- Membro de Honra
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