Movimento Uniformemente variado

por nandofab Sex 06 Mar 2015, 01:10

Um automóvel se move em linha reta com velocidade constante, avançando uma distância d. Logo depois, adquire uma desaceleração constante de módulo a, até parar. Determine o tempo de movimento do automóvel, sabendo que é mínimo.

por **Carlos Adir** Sex 06 Mar 2015, 09:31

O enunciado está correto? Está meio confuso.

Tentemos resolver do jeito que está.

Seja v a velocidade inicial, d a distância percorrida com velocidade constante, a a aceleração, s a distância percorrida durante a desaceleração, e t1 e t2 os tempos dos movimentos respectivamente.

Por torricelli:
v²=v0²+2aS --> S=v²/2a

Agora podemos calcular o tempo:
$\\ \begin{cases}d = v \cdot t_1 \\ s=v \cdot t_2- \dfrac{at_2^2}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}t_1=\dfrac{d}{v} \\ t_2=\dfrac{v\pm \sqrt{v^2-2as}}{a} \end{cases} \\ \Rightarrow t_t=t_1+t_2=\dfrac{d}{v}+\dfrac{v+\sqrt{v^2-2aS}}{a}=\dfrac{d}{v}+\dfrac{v+\sqrt{v^2-2a\left(\dfrac{v^2}{2a} \right )}}{a} \\ \Rightarrow t_t = \dfrac{d}{v}+\dfrac{v}{a}=\dfrac{ad+v^2}{av}$

Agora, devemos analisar.
Se a velocidade for muito pequena, demorará pra percorrer o trecho d(tempo d/v), enquanto o trecho s será rapidamente percorrido.
Se a velocidade for muito alta, percorrerá o trecho d bem rápido(tempo d/v), enquanto o trecho s demorará um bom tempo(tempo v/a).
Deste modo, se queremos o ponto de mínimo, então os valores devem ser iguais, isto é:
$\dfrac{d}{v}=\dfrac{v}{a} \Rightarrow v=\sqrt{ad}$

Então este é o resultado da velocidade inicial.
O tempo total é:
$t_t=\dfrac{d}{v}+\dfrac{v}{a}=\dfrac{ad+v^2}{av}=\dfrac{ad+ad}{a\sqrt{ad}}=\dfrac{2\sqrt{ad}}{a}=2\sqrt{\dfrac{d}{a}}$