Questão de Juros Compostos

(UNEB-2015)Um capita C = R$ 50000,00, aplicado a um tempo t, a uma taxa anual de juros compostos de 10%, acumulou um montante M = R$ 64000,00. Considerando-se log 121 = 2,1 e log 2 = 0,3, pode-se afirmar que, na primeira metade do tempo t, essa aplicação rendeu


01) R$ 4400,00
02) R$ 5000,00
03) R$ 5700,00
04) R$ 6300,00
05) R$ 7000,00

KarolFM escreveu:(UNEB-2015)Um capita C = R$ 50000,00, aplicado a um tempo t, a uma taxa anual de juros compostos de 10%, acumulou um montante M = R$ 64000,00. Considerando-se log 121 = 2,1 e log 2 = 0,3, pode-se afirmar que, na primeira metade do tempo t, essa aplicação rendeu


01) R$ 4400,00
02) R$ 5000,00
03) R$ 5700,00
04) R$ 6300,00
05) R$ 7000,00

Boa noite, Karol.

M = C(1+i)^t
i = 10% = 10/100 = 0,1

64000 = 50000(1,1)^t

1,1^t = 64000/50000 = 1,28 = 128/100 = 2⁷/100

Passando para logaritmos, fica:
t*log(1,1) = 7*log(2) - log(100) = 7*log(2) - 2

t = [7*log(2) - 2] / log(1,1) ........... (I)

Pelos dados fornecidos, temos:
log 2 = 0,3
log 121 = 2,1

Deduzindo log 1,1 a partir do log de 121:
(1,1)² = 1,21 = 121/100

Então, fica:
2*log(1,1) = log(121) - log(100) = 2,1 - 2 = 0,1
log(1,1) = 0,1/2
log(1,1) = 0,05

Substituindo por 0,3 o log(2) e por 0,05 o log(1,1) em (I), vem:
t = (7*0,3 - 2) / 0,05
t = (2,1 - 2) / 0,05
t = 0,1/0,05
t = 2
 
Como é solicitado o valor dos juros na 1ª metade do tempo t, temos:
t/2 = 2/2 = 1

Calculando esses juros:

J = C[1,1^(t/2) - 1]
J = 50000(1,1^1 - 1) = 50000(1,1 - 1) = 50000 * 0,1
J = R$ 5.000,00

Alternativa (02)



Um abraço.