Funções

Considere a função f(x) igual a

3x+9, se x<-2
+3, se -2≤x≤2
, se x>2


Diga qual é o domínio da função f(x) e dê a imagem da função f(x).

O domínio são todos os reais. Pois os unicos problemas são as raizes e as frações. Mas como os "problemas" não estão no intervalo, então "some-se" o problema.
Por exemplo, na ultima equação é 3/(x-1), haveria problema se x=1, mas temos que usamos esta equação somente quando x>2. O mesmo ocorre com a raiz.

Perceba que se x<-2, temos uma reta. Então vejamos o máximo dessa reta.
Será bem próximo de:
3(-2)+9=3
Será bem próximo de 3, mas o ponto (-2, 3) não é da funçao, pois se x=-2, devemos usar outra equação.
Então, por enquanto podemos admitir que a imagem contém todos os números abaixo de 3.

Agora vamos à raiz:
Perceba que se x=0, o valor da raiz atinge o máximo, e se "andarmos" pros lados a função decresce. Então podemos dizer que f(0)=√(4-0²)+3=2+3=5
Agora, o mínimo da raiz será quando x=2 ou x=-2. Em ambos os casos f(x) é o mesmo:
f(-2)=f(2)=√(4-2²)+3=0+3=3
Agora vemos que o ponto (-2, 3) pertence à função.
Então, na raiz, a função de x=-2 até x=0 cresce, e depois que passa disto começa a decrescer e atinge o mínimo de 3 novamente.
O ponto (2, 3) pertence à função.

Agora vamos à terceira e a ultima:
Temos que a função é decrescente conforme x aumenta. Assim, o valor máximo será quando o denominador será o mais próximo de 0.
E isso ocorre quando x está bem próximo de 2.
3/(2-1)=3
Então, na terceira começa por um ponto bem próximo de (2,3) e vai decrescendo.

Com isso, podemos dizer que o máximo que atinge é 5, e abaixo disto, é toda a imagem.

Gráfico abaixo:

Qual o domínio e imagem na função com esse gráfico?

Att,
Alan da silva

Alan

Você sabe o que é domínio e imagem de uma função?
Se sabe, basta ler o raciocínio do Carlos e OLHAR a imagem, para você mesmo responder

Saber eu sei, são três funções, preciso da resposta em intervalos
Fiz assim:
Dom(f)=(- ∞,-2)U[-2,2]U(2,+∞)
Im(f)=(- ∞,3)U[3,5]U(0,3)

Quero saber se está certo?

Não precisa de nada disto.

Quanto ao domínio, já foi respondido pelo Carlos, na 1ª linha da mensagem dele; por isto eu disse que bastava você ler a resposta dele.

Quanto à imagem eu disse que basta OLHAR o gráfico. para responder.  (supondo, evidentemente que você saiba a definição de imagem)

No lugar de - α entenda - ∞

Verdade mestre, troquei o símbolo