Sistema trigonométrico

por nandofab Qui 12 Fev 2015, 23:16

Spoiler:

Determinar a condição que deve ser imposta a b para que seja possível o sistema
Tg(x) + Tg(y)=2
Sec²(x) + Sec²(y) =b

por **Carlos Adir** Sex 13 Fev 2015, 11:12

Sabe-se que sec²(x) = 1 +tan²(x)
$\\ \begin{cases}tan \ x+ tan \ y = 2\\ sec^2 \ x + sec^2 \ y = b \end{cases} \\ \left(tan \ x + tan \ y \right )^2=2^2 \\ \Rightarrow tan^2 \ x + tan^2 \ y = 4 - 2 tan \ x \cdot tan \ y \\ sec^2 \ x+ sec^2 y =b \\ \left(1+tan^2\ x \right )+\left(1+tan^2 \ y \right )=b \\ 2+\left(4-2tan \ x \cdot tan \ y \right )=b \\ tan \ x \cdot tan \ y = \dfrac{6-b}{2}$
Pela desigualdade das médias temos:
$\\ \sqrt{tan \ x \cdot tan \ y} \le \dfrac{tan \ x+tan \ y}{2} \Rightarrow tan \ x \cdot tan \ y \le 1$
Assim:
$\\ \dfrac{6-b}{2}=tan \ x \cdot tan \ y \le 1 \\ \Rightarrow \dfrac{6-b}{2} \le 1 \Rightarrow b \ge 4$

por **Elcioschin** Sex 13 Fev 2015, 11:52

Outra solução

sec²x + sec²y = b ---> 1 + tg²x + 1 + tg²y = b ---> tg²y = b - tg²x - 2 ---> tgx = √(b - tg²x - 2)

tgx + tgy = 2 ---> tgx + √(b - tg²x - 2) = 2 ---> √(b - tg²x - 2) = 2 - tgx --->

b - tg²x - 2 = (2 - tgx)² ---> b - tg²x - 2 = 4 - 4tgx + tg²x ---> 2.tg²x - 4.tgx + 6 - b = 0

∆ = (-4)² - 4.2.(6 - b) ---> ∆ = 8b - 32 ---> 8b - 32 >= 0 ---> b >= 4

por jenkidama Sex 13 Fev 2015, 20:34

Não entendi essa desigualdade das médias na tangente , por gentileza, alguém poderia me explicar ?

por **Carlos Adir** Sex 13 Fev 2015, 21:23

Há várias maneiras de provar a desigualdade de médias. Suponho que não seja necessário disto aqui neste tópico.
E depois de provada, temos a relação:
$\dfrac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2a_3a_4\cdots a_n}$
Assim, se o número de termos for 2, n=2, então:
$\dfrac{a_1+a_2}{2} \ge \sqrt{a_1a_2}$
E no caso comparamos a_1 como tan(x) e a_2 como tan(y), ou seja, podemos escrever:
$\dfrac{tan \ x+tan \ y}{2} \ge \sqrt{tan \ x\cdot tan \ y}$
Pois os valores de tangentes são reais. Deste modo, "organizando", obtemos:
$\left(\dfrac{tan \ x+tan \ y}{2} \right )^2 \ge tan \ x\cdot tan \ y$
E que pelo enunciado, temos que tan(x)+tan(y)=2, então:
$1 \ge tan \ x\cdot tan \ y$

Dúvida solucionada?