Sistema trigonométrico

por nandofab Qua 01 Abr 2015, 00:03

Determine os valores de x e y que satisfazem as equações:
x + y = pi/5

sen²x + sen²y = 1 - cos(pi/5)

OBS, não possuo o gabarito, mas encontrei o seguinte: y = pi/10 - kpi, e x = pi/10 + kpi, onde K E Z.

por **Robson Jr.** Sáb 04 Abr 2015, 18:02

Convém ao leitor rever as fórmulas de prostaférese (transformações soma-produto e produto-soma).

Trabalhemos em cima da segunda equação:

$\small sen^2x+sen^2y=1-cos\left ( \frac{\pi}{5} \right ) \\ \therefore \ \ sen^2x+sen^2y-2senxseny= 1-2senxseny-cos\left ( \frac{\pi}{5} \right ) \\ \therefore \ \ (senx-seny)^2=1-2senxseny-cos\left ( \frac{\pi}{5} \right ) \\ \therefore \ \ \left ( 2sen\left ( \frac{x-y}{2} \right ) cos\left ( \frac{x+y}{2} \right ) \right )^2=1+\left ( cos(x+y)-cos(x-y) \right ) - cos\left ( \frac{\pi}{5} \right )\\$

Usando a primeira equação:

$\small 4sen^2\left ( \frac{x-y}{2} \right ) cos^2\left ( \frac{\pi}{10} \right ) \right )=1+cos\left ( \frac{\pi}{5} \right )- cos\left ( x-y \right ) - cos\left ( \frac{\pi}{5} \right ) \\ \therefore \ \ 4sen^2\left ( \frac{x-y}{2} \right ) cos^2\left ( \frac{\pi}{10} \right ) \right )=1-cos(x-y) \\ \therefore \ \ 4sen^2\left ( \frac{x-y}{2} \right ) cos^2\left ( \frac{\pi}{10} \right ) \right )=1-\left ( 1-2sen^2\left ( \frac{x-y}{2} \right ) \right ) \\ \therefore \ \ 2sen^2\left ( \frac{x-y}{2} \right )\left ( 2cos^2\left ( \frac{\pi}{10} \right )-1 \right )=0 \\ \therefore \ \ 2sen^2\left ( \frac{x-y}{2} \right ) cos\left ( \frac{\pi}{5} \right )=0$

Como cos(36º) é não-nulo, devemos ter:

$\small sen\left ( \frac{x-y}{2} \right )=0 \ \therefore \ \frac{x-y}{2}=k\pi \ \therefore \ x-y=2k\pi$

Finalmente:

$\small \left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi}{5}\\\\ x-y=2k \pi \end{matrix}\right. \Rightarrow \boxed{x=\frac{\pi}{10}+k\pi; \ y=\frac{\pi}{10}-k\pi}\ , \ k \in \mathbb{Z}$

por nandofab Dom 05 Abr 2015, 15:42

Mto obrigado!

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