Elipse e distância focal
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Matheusdomingos- Padawan
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Re: Elipse e distância focal
por Elcioschin Dom 11 Jan 2015, 18:01
F (0, -2) ---> F'(0, 2) ---> c = 2 ---> Elipse com eixo maior (2a) sobre o eixo y
x²/b² + y²/a² = 1 ---> 1²/b² + (√6)²/a² = 1 ---> 1/a² + 6/b² = 1 ---> b² = a²/(a² - 6)
a² = b² + c² --> a² = a²(a² - 6) + 2² --> a².(a² - 6) = a² + 4.(a² - 6) --> (a²)² - 6.a² = 5.a² - 24 --> (a²)² - 11.a² - 24 = 0
Raiz positiva ---> a² = 8 ---> b² = 8/(8 - 2) ---> b² = 4
x²/4 + y²/8 = 1
x²/b² + y²/a² = 1 ---> 1²/b² + (√6)²/a² = 1 ---> 1/a² + 6/b² = 1 ---> b² = a²/(a² - 6)
a² = b² + c² --> a² = a²(a² - 6) + 2² --> a².(a² - 6) = a² + 4.(a² - 6) --> (a²)² - 6.a² = 5.a² - 24 --> (a²)² - 11.a² - 24 = 0
Raiz positiva ---> a² = 8 ---> b² = 8/(8 - 2) ---> b² = 4
x²/4 + y²/8 = 1
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Elipse e distância focal
por Carlos Adir Dom 11 Jan 2015, 18:10
Matheusdomingos
Pelo Regulamento:
A questão é essa:
Sabe-se que o centro é na origem, e um foco é F'=(0,-2). A reflexão de um foco ao centro, é o outro foco. Deste modo, F''=(0,2)
Determinemos a distância de F' a P, e F'' a P:
=\sqrt{(0-1)^2+(2-\sqrt{6})^2}\\&space;d(PF')=\sqrt{11-4\sqrt{6}}&space;\\&space;d(PF'')=\sqrt{(0-1)^2+((-2)-\sqrt{6})^2}\\d(PF'')=\sqrt{11+4\sqrt{6}} "\\ d(PF')=\sqrt{(0-1)^2+(2-\sqrt{6})^2}\\ d(PF')=\sqrt{11-4\sqrt{6}} \\ d(PF'')=\sqrt{(0-1)^2+((-2)-\sqrt{6})^2}\\d(PF'')=\sqrt{11+4\sqrt{6}}")
Com algumas manipulações algebricas, achamos:
=&space;\sqrt{8}-\sqrt{3}&space;\\&space;d(PF'')=\sqrt{8}+\sqrt{3} "\\ d(PF')= \sqrt{8}-\sqrt{3} \\ d(PF'')=\sqrt{8}+\sqrt{3}")
Relembrando alguns dados de elípse:
.jpg)
Sabe-se então que:
&space;+&space;d(PF'')&space;\\&space;2a&space;=&space;\sqrt{8}-\sqrt{3}+\sqrt{8}+\sqrt{3}\\&space;2a=2&space;\sqrt{8}&space;\\&space;a=\sqrt{8} "\\ 2a = d(PF') + d(PF'') \\ 2a = \sqrt{8}-\sqrt{3}+\sqrt{8}+\sqrt{3}\\ 2a=2 \sqrt{8} \\ a=\sqrt{8}")
c é a distância do centro ao foco, que sabemos que é 2. Então por pitágoras:
^2=b^2+2^2&space;\\&space;b=\sqrt{8-4}&space;\\&space;b=2 "\\ a^2=b^2+c^2 \\ \left(\sqrt{8} \right )^2=b^2+2^2 \\ b=\sqrt{8-4} \\ b=2")
A equação da elipse de centro da origem é então:
O b e o a estão invertidos pois a elipse é vertical.
Logo, substituindo o A e o B:
A elipse é então essa:
Pelo Regulamento:
Regulamento escreveu:IX- As questões devem ser postadas em modo texto, não sendo aceitas imagens ou links para o enunciado da questão. São aceitas imagens para adicionar figuras esclarecedoras ou que façam parte da questão. Isto se deve ao fato de que os mecanismos de busca, tanto internos quanto externos não reconhecem imagens.
A questão é essa:
Matheusdomingos escreveu:Determine a equação da elipse com centro na origem que passa pelo pontoe tem um foco
.
Gabarito:
Sabe-se que o centro é na origem, e um foco é F'=(0,-2). A reflexão de um foco ao centro, é o outro foco. Deste modo, F''=(0,2)
Determinemos a distância de F' a P, e F'' a P:
Com algumas manipulações algebricas, achamos:
Relembrando alguns dados de elípse:
Sabe-se então que:
c é a distância do centro ao foco, que sabemos que é 2. Então por pitágoras:
A equação da elipse de centro da origem é então:
O b e o a estão invertidos pois a elipse é vertical.
Logo, substituindo o A e o B:
A elipse é então essa:
____________________________________________
← → ↛ 
⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇
ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
Carlos Adir- Monitor
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