Colisões

por W-Carol Qua 07 Jan 2015, 11:40

(Fatec-SP, adaptada) Uma bola de futebol (m1=o,5 kg) atinge com velocidade v1=20 m/s a traseira de um caminhão (m2= 10 toneladas) com velocidade v2=5 m/s. A colisão é elástica. Considerando esses dados, indique a alternativa correta:
a) A bola retrocede com velocidade próxima de 10 m/s.
b) O caminhão prossegue com velocidade sensivelmente aumentada.
c) A energia cinética da bola não varia.
e) Nenhuma das respostas anteriores.

Colisões 9ub02e

por **Carlos Adir** Qua 28 Jan 2015, 23:19

É bastante óbvio que a carreta ganhará velocidade, pois quando a bola bate, transfere quantidade de movimento da bola para o caminhão, impulsionando-o.

Contudo, se quisermos saber exatamente a velocidade do caminhão após o choque:

Vamos fazer com variáveis:
Como o choque é elástico, a energia total se conserva e sua quantidade de movimento também, logo:
$\begin{cases}E_t = \dfrac{m_1v_1^2}{2}+\dfrac{m_2v_2^2}{2}=\dfrac{m_1v_1^2+m_2v_2^2}{2} \\ Q_m = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \end{cases}$
Então, após o choque, a bola e o caminhão terão velocidades v_3 e v_4 respectivamente:
$\\ \begin{cases}2E_t = m_1v_3^2+m_2v_4^2 \\ Q = m_1 \cdot v_3 + m_2 \cdot v_4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}m_1\left(v_3^2-v_1^2 \right )=m_2\left(v_2^2-v_4^2 \right ) \\ m_1\left(v_3-v_1 \right )=m_2\left(v_2-v_4\right)\end{cases} \\ \Rightarrow \dfrac{v_3^2-v_1^2}{v_3-v_1}=\dfrac{v_2^2-v_4^2}{v_2-v_4} \Rightarrow v_3+v_1=v_2+v_4 \Rightarrow v_3 = v_4 - 15$

Logo, substituindo na equação da quantidade de movimento:
$\\ m_1 \left(v_1 - v_3 \right )=m_2 \left(v_4-v_2 \right ) \\ \Rightarrow 5 \left(20 - \left(v_4-15 \right ) \right )=10^4 \left(v_4-5 \right ) \\ \Rightarrow 5 \cdot 35 + 5 \cdot 10^4= 10^4 v_4 + 5v_4 \\ \Rightarrow v_4 =\dfrac{5 \cdot 669}{667}=5 + \dfrac{10}{667}$
$v_4 \approx 5,01499$

Consequentemente, sabemos a velocidade da bola após o choque:
$v_3 = v_4 -15=\left(5 + \dfrac{10}{667} \right )-15 = \dfrac{-6660}{667} \approx -9,985007 \approx -10$
Ou seja, a bola volta com velocidade de aproximadamente de 10 m/s.

A energia cinética da bola varia, pois o módulo da velocidade passa de 20 para 10.

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