Desigualdade de Chebychev, Jensen e Cauchy

Seja h a altura de um tetraedro regular e h1,h2,h3,h4 as distâncias desde um ponto P em seu interior às faces do tetraedro. Prove que:

h-h1/h+h1 + h-h2/h+h2 + h-h3/h+h3 + h-h4/h+h4 >= 12/5


>= - Maior ou igual

Primeiramente, considere o um ponto P no interior de um tetraedro regular, tal que a distância desse ponto as faces do tetraedro sejam h1, h2, h3 e h4, como diz o enunciado, irei mostrar que h1 + h2 + h3 + h4 = h, sendo h a altura do tetraedro regular.
Ligue o ponto P aos vértices do tetraedro, ao fazer isso, iremos obter 4 pirâmides cada uma com alturas relativa as suas respectivas bases sendo iguais a h1, h2, h3 e h4, sendo que suas bases coincidem com as faces do tetraedro regular. Vamos considerar a área das faces sendo iguais a S (já que o tetraedro regular possui todas as faces congruentes e todas as arestas também congruentes). Dessa forma, o volume do tetraedro será igual a soma dos volumes de todas as pirâmides, portanto:
(Sh)/3 = (Sh1)/3 + (Sh2)/3 + (Sh3)/3 + (Sh4)/3
Daqui tiramos que h1 + h2 + h3 + h4 = h. 

Agora no exercício.
Considere a função f(x), tal que:



Temos que (wolfram que disse):



Dessa forma, por Jensen:



Temos que x1 = h1, x2 = h2, x3 = h3 e x4 = h4, dessa forma, x1 + x2 + x3 + x4 = h1 + h2 + h3 + h4 = h (como provado logo no começo), substituindo ali em cima:



A igualdade ocorre quando h1 = h2 = h3 = h4.