desigualdade de Cauchy-Schwarz

por Márcio Valente Qua 12 Mar 2014, 17:54

1. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para mostrar que:

a) Se a, b > 0 e a + b = 1, então (a+1/a)² + (b+1/b)² ≥ 25/2

por **fantecele** Sex 14 Dez 2018, 19:06

(1² + 1²).((a+1/a)² + (b+1/b)²) ≥ ((a+1/a).1 + (b+1/b).1)²
2.((a+1/a)² + (b+1/b)²) ≥ ((a+1/a).1 + (b+1/b).1)²

2.((a+1/a)² + (b+1/b)²) ≥ (a+b+1/a+1/b)²
2.((a+1/a)² + (b+1/b)²) ≥ (a+b+(a+b)/(ab))²

Sendo a + b = 1:

2.((a+1/a)² + (b+1/b)²) ≥ (1+1/(ab))²

MA ≥ MG
a + b ≥ 2√(ab)
1 ≥ 2√(ab)
1 ≥ 4ab
1/(ab) + 1 ≥ 4 + 1
1/(ab) + 1 ≥ 5
(1+1/(ab))² ≥ (5)² = 25

2.((a+1/a)² + (b+1/b)²) ≥ (1+1/(ab))² ≥ 25
(a+1/a)² + (b+1/b)² ≥ 25/2

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