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Desigualdade de Cauchy-Schwarz

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Resolvido Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Mensagem por Perceval Sex 30 Abr 2021, 11:50

Sejam x1, x2, ..., xn n´umeros reais positivos e y1, y2, ..., yn uma permuta¸c˜ao dos xi , 1 ≤ i ≤ n. Prove a desigualdade x 2 1 y1 + x 2 2 y2 + ... + x 2 n yn ≥ x1 + x2 + ... + xn.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz I7NfmtD7wCQAAAAASUVORK5CYII= 
Eu não entendi o que devo fazer com [latex]x_1+x_2+x_3+...+x_n=y_1+y_2+...+y_n[/latex], e além disso para aplicar Cauchy-Schwarz os termos [latex]y_1+y_2+...+y_n[/latex] não deveriam estar cada um deles elevado ao quadrado?


Última edição por Perceval em Sex 30 Abr 2021, 16:58, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Mensagem por SilverBladeII Sex 30 Abr 2021, 15:58

A gente vai usar CS nas n-uplas 
[latex]\left(\frac{x_1}{\sqrt{y_1}}, \frac{x_2}{\sqrt{y_2}}, \dots, \frac{x_n}{\sqrt{y_n}} \right)[/latex]
e
[latex](\sqrt{y_1}, \sqrt{y_2}, \dots, \sqrt{y_n})[/latex]:
[latex]\begin{align*}&\left( \left( \frac{x_1}{\sqrt{y_1}} \right)^2+\left(\frac{x_2}{\sqrt{y_3}} \right)^2+\dots+\left(\frac{x_n}{\sqrt{y_n}}\right)^2 \right)((\sqrt{y_1})^2+\dots+(\sqrt{y_n})^2) \\
\geq & \left( \frac{x_1}{\sqrt{y_1}}\cdot \sqrt{y_1}+\frac{x_2}{\sqrt{y_2}}\cdot \sqrt{y_2}+\dots+\frac{x_n}{\sqrt{y_n}}\cdot \sqrt{y_n} \right)^2\\
\implies &\left(\frac{x_1^2}{{y_1}} + \frac{x_2^2}{{y_2}} + \dots + \frac{x_n^2}{{y_n}}\right) ({y_1}+{y_2}+ \dots+ {y_n})\\
\geq & (x_1+x_2+\dots+x_n)
\end{align*} [/latex]
Como [latex]x_1+x_2+\dots+x_n=y_1+y_2+\dots+y_n >0[/latex], podemos cancelar em ambos os lados, obteno o que queríamos
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