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Desigualdade de Cauchy

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Resolvido Desigualdade de Cauchy

Mensagem por Perceval Sex 23 Abr 2021, 06:02

Como eu faço essa questão?

Seja x um número real e m, um natural. Prove que 
[latex]\frac{x(x+1)(x+2)...(x+m-1)}{m(m-1)(m-2)...1}\geq x^{1+\frac12+\frac13+...+\frac1m}[/latex].


Dica:Desigualdade de Cauchy B6gk+n25bSniAAAAAElFTkSuQmCC


Última edição por Perceval em Sex 30 Abr 2021, 11:43, editado 3 vez(es)
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Resolvido Re: Desigualdade de Cauchy

Mensagem por SilverBladeII Dom 25 Abr 2021, 11:33

Vamos supor x real positivo.
Assim, por ma mg
[latex]\frac{x+k-1}{k}=\frac{x+1+1+\dots+1}{k}\geq x^{1/k}.[/latex]
Portanto,
[latex]
\begin{align*}
\prod_{i=1}^{m}\frac{x+i-1}{i}\geq\prod_{i=1}^{m} x^{1/i}=x^{1+1/2+\dots+1/m}
\end{align*}[/latex]
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Resolvido Re: Desigualdade de Cauchy

Mensagem por Perceval Seg 26 Abr 2021, 20:23

@SilverBladeII escreveu:Vamos supor x real positivo.
Assim, por ma mg
[latex]\frac{x+k-1}{k}=\frac{x+1+1+\dots+1}{k}\geq x^{1/k}.[/latex]
Portanto,
[latex]
\begin{align*}
\prod_{i=1}^{m}\frac{x+i-1}{i}\geq\prod_{i=1}^{m} x^{1/i}=x^{1+1/2+\dots+1/m}
\end{align*}[/latex]
Obrigado!
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Resolvido Re: Desigualdade de Cauchy

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