Vértices do triângulo equilátero

por soniky Ter 23 Set 2014, 22:15

Os pontos A=(-1,1) e B=(3,4) são vértices de um triângulo equilátero. Obtenha o 3o vértice.

Resposta: (5/2 ; 1/2) ou (-1 ; 31/62)

Não está saindo de jeito nenhum, tentei por rotação de vetor e também não consegui.

por **Jose Carlos** Ter 23 Set 2014, 23:21

- marque os pontos A e B no plano coordenado

- calcule a distância do ponto A ao ponto B -> 5

- calcule o ponto médio do segmento AB -> M( 1, 5/2 )

- calcule a reta (r) que passa pelos pontos A e B

- calcule a reta (s) perpendicular à reta (r) que passa pelo ponto M

- calcule a circunferência de centro em B( 3, 4 ) e tem raio 5

- calcule as interseções da circunferência com a reta (s) para obter os dois pontos.

-

por PedroCunha Ter 23 Set 2014, 23:42

Olá.

Uma maneira é:

Seja C(x,y).

Temos: \\ AB = \sqrt{(4-1)^2 + (3-(-1))^2} \therefore AB = \sqrt{25} = 5 .

Então, \\ AC = BC = 5 . Assim:

\\ \begin{cases} (4-y)^2 + (3-x)^2 = 25 \therefore x^2+y^2 - 8y - 6x = 0 \dots I \\ (1-y)^2 + (-1-x)^2 = 25 \therefore x^2+y^2-2y+2x = 23 \dots II \end{cases} \\\\

II-I: 6y+8x = 23 \therefore x = \frac{23-6y}{8} \\\\

\left( \frac{23-6y}{8} \right )^2 + y^2 - 8y - 6 \cdot \left(\frac{23-6y}{8} \right) = 0 \therefore \\\\
\frac{36y^2 - 276y+529}{64} + y^2 -8y - \left(\frac{69 - 18y }{4} \right) \therefore \\\\
36y^2 - 276y+529 + 64y^2 - 512y - 1104 + 288y = 0 \therefore \\\\ 100y^2 -500y -575 = 0 \therefore 4y^2 - 20y - 23 = 0 \\\\ \Leftrightarrow y = \frac{20\pm 16\sqrt3}{8} \therefore y = \frac{5}{2}\pm2\sqrt3 \Leftrightarrow x = 1 \mp \frac{3\sqrt3}{2}

Gabarito errado.

Att.,
Pedro