Sistemas Lineares

por estudant31 Dom 21 Set 2014, 10:45

(MACKENZIE) A equação matricial

| 1 1 -1 | |x| |5|
| -1 1 1 |. |y| = |2|
| 1 3 -1 | |z| |k|

a) não admite solução, qualquer que seja k.
b) admite solução, qualquer que seja k.
c) admite solução se k=4.
d) admite solução somente se k=8.
e) admite solução somente se k=12.

Gabarito: e

Gostaria de saber por que não posso resolver por regra de cramer: se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero o sistema é SPD. Calculando o determinante, cheguei a det=2, ou seja SPD, para qualquer valor de k. Onde está meu erro?

por **Ashitaka** Dom 21 Set 2014, 13:02

Eu não sei muito de matrizes nem conheço esse regra de Cramer, mas o determinante daquela matriz 3x3 ali é 0, não 2.

por **Thálisson C** Dom 21 Set 2014, 21:21

efetuando a multiplicação de matrizes, essa equação matricial fica da seguinte forma:

$\left\{\begin{matrix} x+y -z = 5\\ -x+y+z = 2\\ x+3y-z = k \\ \end{matrix}\right.$

agora vamos descobrir o termo z, por cramer:

$z = \frac{D_{z}}{D}$

sabemos que o D é zero, pois percebemos que a coluna 3 é o oposto da coluna 1 e pela propriedade da combinação linear, o determinante é zero. (C3 = -C1)

o Dz é:

$det(D_{z}) \begin{vmatrix} \;\;\;1 & 1 & 5\\ -1 & 1 & 2 \\ \;\;\;1& 3 & k \end{vmatrix} = 2k - 24$

retornando ao termo z:

$z = \frac{2k-24}{0}$

observe que se k for diferente de 12, o sistema é impossível, porém, se k =12 o sistema é possível, ou seja, admite solução, só que essa solução não pode ser determinada.

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