UFRS-Trapézio

Na figura abaixo tem-se que AD=BC=6cm, BÂD +ABC=120 graus, P ponto médio de AC, Q ponto médio de BD e R ponto médio de CD. Determine o perímetro do triângulo PQR.

a) 3cm
b) 6cm
c) 9cm
d) 12cm

Resposta:(C).

OBS: Desenho fora de escala.

Pelos dados parece que a solução é válida para QUALQUER quadrilátero que atenda às condições do enunciado.

Logo, vou escolher um quadrilátero que facilite os cálculos: um trapézio isósceles ABCD de base menor CD = b, ângulos de 60º com a base maior AB, e AD = BC = 6.

Vou colocar o trapézio num sistema cartesiano xOy com a base maior AB no eixo X e o vértice A na origem:

Altura do trapézio = AD*sen60° = 6*V3/2 = 3*V3
Base maior do trapézio = AD*cos6º + b + BC*cos60° = 6*(1/2) + b + 6*(1/2) = b + 6

A(0, 0) ; B(b+6, 0) ; C(b+3, 3*V3) ; D(3, 3*V3)

Coordenadas dos pontos médios P e Q das diagonais e do ponto médio R do lado menor:

xP = (xC - xA)/2 ----> xP = (b+3 - 0)/2 ----> xP = (b + 3)/2
yP = h/2 ----> yP = 3*V3/2

xQ = xD + (xB - xD)/2 ----> xQ = 3 + (b+6) - 3)/2 ----> xQ = (b + 9)/2
yQ = h/2 ----> yQ = 3*V3/2

xR = xD + b/2 ----> xR = 3 + b/2 ----> xR = (b + 6)/2
yR = h ----> yR = 3*V3

Cálculo dos lados do triângulo

PQ = (xQ - xP) ----> PQ = ((b + 9)/2 - (b + 3)/2 ----> PQ = 3

PR² = (xR - xP)² + (yR - yP)² ----> PR² = [(b + 6)/2 - (b + 3)/2]² + (3*V3 - 3*V3/2)²

PR² = (3/2)² + (3*V3/2)² ----> PR² = 9/4 + 27/4 -----> PR² = 9 ----> PR = 3

QR² = (xQ - xR)² + (yP - yR)² ----> QR² = [(b + 9)/2 - (b + 6)/2]² + (3*V3 - 3*V3/2)²

QR² = (3/2)² + (3*V3/2)² ----> QR² = 9/4 + 27/4 -----> QR² = 9 ----> QR = 3

Perímetro do triângulo ----> P = PQ + PR + QR ----> P = 3 + 3 + 3 ----> P = 9